Rendimiento y riesgo de carteras de inversión

Tenemos una sólida noción intuitiva de la importancia de la diversificación: somos conscientes de que podemos mitigar el riesgo distribuyendo la financiación disponible entre varias aplicaciones diferentes. Este planteamiento es incompleto, porque no nos ayuda a clarificar cómo debemos elegir y combinar esos destinos, pero nos pone en la pista del proceso que causa la mitigación de riesgo: los rendimientos de los títulos no están perfectamente correlacionados, de manera que con frecuencia los resultados negativos (positivos) se compensarán en mayor o menor medida con resultados positivos (negativos) de otros títulos. El efecto neto es una reducción de la variabilidad del rendimiento agregado de la cartera, en definitiva, una reducción del riesgo, que no se traduce en una merma significativa del rendimiento.

Para comprender cómo ocurre esto debemos ser capaces de calcular el rendimiento y el riesgo de una cartera:

• Rendimiento:   , siendo xj la proporción de capital que se invierte en el activo j-ésimo (j = 1 ... n); estas proporciones se asumen no negativas, y por definición deben sumar uno.
• Riesgo: , siendo σij la covarianza entre los rendimientos de dos títulos i,j cualesquiera (observe que σ_jj = σ²_j).

Por ejemplo, para una cartera formada por dos títulos A y B, se tiene:

μ_K = μ_A · x_A + μ_B · x_B

σ²_K = σ²_A  x_A² + σ²_B · x_B² + 2 · σ_AB · x_A · x_B

Observe que las covarianzas (y por tanto, las correlaciones) son determinantes en la formación del riesgo de la cartera. Solo en el caso excepcional de que los rendimientos de A y B estuviesen perfectamente incorrelados, σ²_K = σ²_A  x_A² + σ²_B · x_B². 

Supongamos que combinamos los títulos A y B de manera arbitraria. ¿Cómo cabe esperar que se comporten el rendimiento y el riesgo de estas carteras?

El rendimiento esperado de estas carteras es 

μ_K = μ_A · x_A + μ_B · x_B = 0,0501 · x_A + 0,0044 · x_B

Por ejemplo, una cartera formada al 30% por A y en el 70% restante por B tendría la siguiente rentabilidad esperada:

μ_K = 0,0501 · 0,3 + 0,0044 · 0,7 = 0,0181

Su riesgo, medido por la varianza, sería

σ²_K = σ²_A  · x_A² + σ²_B · x_B² + 2 · σ_AB · x_A · x_B =  σ²_A  · x_A² + σ²_B · x_B² + 2 · ρ_AB · σ_A · σ_B · x_A · x_B

donde ρ_AB = -0,6881 es el coeficiente de correlación entre los rendimientos. Como ρ_AB < 0, el tercer sumando de la expresión anterior es negativo, de forma que las oscilaciones en los rendimientos de A y B tienden a compensarse y esto ocasiona una mitigación del riesgo. Si x_A = 0,3 y x_B = 0,7 el riesgo será:

σ²_K = σ²_A  · x_A² + σ²_B · x_B² + 2 · σ_AB · x_A · x_B =  0,2· 0,3² + 0,0242 · 0,7² + 2 · (-0,0479) · 0,3 · 0,7 =  0,0098 → σ_K = 0,0988

Podemos formar cualquier otra combinación, siempre y cuando las respectivas participaciones sean no negativas y sumen uno. Por ejemplo si x_A = 0,8 y x_B = 0,2 resultan μ_K = 0,0409 y σ_K = 0,3371. Todas estas carteras "posibles" o matemáticamente válidas forman el "conjunto factible", que en este caso es la forma cuadrática trazada en verde en el gráfico inferior; sobre ella se muestran también estas dos carteras arbitrarias, con marcadores en amarillo.

La situación cambia sustancialmente si consideramos la posibilidad de invertir en tres o más títulos. Si introducimos un título C con μ_C = -0,0095  σ²_C = 0,0530  σ_AC = 0,0987 y σ_BC = -0,0310 podemos formar carteras son los siguientes estadísticos:

μ_K = μ_A · x_A + μ_B · x_B + μ_C · x_C = 0,0501 · x_A + 0,0044 · x_B + (-0,0095) · x_C

σ²_K = σ²_A  · x_A² + σ²_B · x_B² + σ²_C · x_C² + 2 · σ_AB · x_A · x_B + 2 · σ_AC · x_A · x_C + 2 · σ_BC · x_B · x_C =
0,2 · x_A² + 0,0242 · x_B² + 0,0530 · x_C²  + 2 · (-0,0479) · x_A · x_B + 2 · 0,0987 · x_A · x_C + 2 · (-0,0310) · x_B · x_C

Si decidimos invertir x_A = 0,1  x_B = 0,5 y x_C = 0,4 podemos esperar

μ_K = 0,0501 · 0,1 + 0,0044 · 0,5 + (-0,0095) · 0,4 = 0,0034

σ²_K = 0,2 · 0,1² + 0,0242 · 0,5² + 0,0530 · 0,4²  + 2 · (-0,0479) · 0,1 · 0,5 + 2 · 0,0987 · 0,1 · 0,4 + 2 · (-0,0310) · 0,5 · 0,4 = 0,0072

σ_K = 0,0850

Esta cartera está señalada con un marcador rojo en el gráfico inferior, donde también se presentan otras 2.000 combinaciones aleatorias de los tres títulos (se exige que las tres participaciones sean no negativas y que x_A + x_B + x_C = 1). Observe que ahora, con tres títulos, el conjunto factible no es una línea sino una superficie del plano, lo que cambia radicalmente las características del problema: hay múltiples carteras que ofrecen el mismo rendimiento esperado (o el mismo riesgo esperado), y esto nos conduce al problema de la optimización.

Considere nuevamente nuestra cartera (señalada en rojo), y comparela con la señalada en amarillo, en el gráfico inferior. Ambas tienen el mismo riesgo (σ_K = 0,0850), pero la marcada en amarillo está situada más arriba lo que significa que le corresponde un rendimiento esperado superior (en torno a 0,015). También podemos formar la cartera señalada en verde, que tiene el mismo rendimiento que la nuestra pero un riesgo inferior (aproximadamente σ = 0,07).

Nuestra cartera, situada en el interior de la zona factible, está dominada por (es peor que) otras que, o bien ofrecen mayor rendimiento esperado (amarillo) o bien permiten alcanzar el mismo rendimiento a costa de un riesgo más bajo (verde). Estas combinaciones, situadas a lo largo del perímetro superior de la zona factible, forman la frontera de carteras eficientes (FCE).

Nosotros hemos identificado dos carteras eficientes (verde, amarillo) de manera heurística, a partir de una simulación; pero un inversor necesita determinar su composición empleando un procedimiento riguroso y eficiente. Este es el campo de trabajo de la teoría de cartera.