Optimización de carteras: el modelo de Markowitz

Planteamiento general del modelo

Como hemos visto, al combinar los títulos en carteras se abre un amplio abanico de posibilidades de inversión, muchas de las cuales tienen rendimientos (o riesgos) similares, de lo que se desprende una necesidad de elegir. A primera vista podría parecer razonable buscar la máxima rentabilidad para el mínimo riesgo, pero este planteamiento es irresoluble porque la lógica financiera hace que las inversiones más rentables sean también más arriesgadas.

La alternativa consiste en actuar conforme a la noción de eficiencia: identificar la cartera con el máximo rendimiento esperado, para un nivel dado de riesgo, o como somos aversos al riesgo, buscar la combinación que minimiza la dispersión para un nivel dado de rendimiento. Este es el fundamento del modelo de Markowitz:

El planteamiento del modelo para los tres activos considerados (A, B, C) es el siguiente:

y tiene una solución específica para cada meta de rentabilidad (μ_K*). Por ejemplo, si pretendemos formar una inversión diversificada con μ_K* = 0,01 deberíamos emplear la siguiente combinación: x_A = 0,1645; x_B = 0,6962; x_C = 0,1392. Esta cartera (señalada con marcador rojo) tiene σ = 0,0756 y se sitúa justo sobre la frontera eficiente, en el límite izquierdo de la zona factible: no hay ninguna combinación viable con un riesgo inferior (situada más a la izquierda), ni tampoco más arriba (con mayor expectativa de rendimiento); precisamente por ello, es eficiente.

Si pretendemos μ_K* = 0,04 deberíamos combinar un 77,95% del título A y un 22,05% del título B (no se aplican fondos a C) y asumir σ = 0,3259: el riesgo es sustancialmente más grande, pero el rendimiento esperado es el máximo posible y la cartera (señalada con un marcador verde) se sitúa también sobre el perímetro del conjunto factibe, en la frontera eficiente. Hay una cartera eficiente para cada nivel de rendimiento (o de riesgo), y en principio, todas ellas son indiferentes: la elección recaerá en la que resulte más atractiva para el decisor, más formalmente, en la que se sitúe en el punto de tangencia de la frontera eficiente con la curva de indiferencia de mayor nivel.

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El rol de la acción C (y de los títulos con bajo rendimiento)

El título C tiene un rendimiento esperado negativo (μ_C = -0,0095); no obstante, como hemos visto, forma parte de algunas inversiones diversificadas. Todas las carteras eficientes con rendimiento medio esperado igual o inferior a 0,016 incluyen una participación variable de esta acción (como hemos visto x_C = 0,1393 en la cartera óptima con μ_K = 0,01).

Retroalimentación

Cuando se incorpora a una cartera, cada título aporta directamente su rendimiento y su varianza; pero como sus cambios de precio no están perfectamente acoplados con los cambios que experimentan los demás títulos, también ejerce una influencia indirecta sobre el riesgo agregado de la inversión. Esta es precisamente la fundamentación de la diversificación, el hecho de que las correlaciones de los rendimientos sean imperfectas causa una mitigación del riesgo.

El título C aporta un riesgo directo muy pequeño (σ_C = 0,0205) y tiene, en efecto, un rendimiento medio esperado negativo, de manera que su inclusión reduce el rendimiento conjunto de cualquier cartera. Pero esta es solo una parte de la realidad: el rendimiento de C está correlacionado intensa y negativamente con el rendimiento de B (ρ_BC = -0,8662), de manera que, si los combinamos, podemos lograr una fuerte reducción de la varianza. La contribución de C no radica en su rendimiento, ni siquiera en su pequeño riesgo directo, sino en su capacidad para atenuar la variabilidad generada por otros títulos. El modelo pone de manifiesto la conveniencia de incluirlo en algunas carteras conservadoras, con riesgo muy bajo; pero va desapareciendo paulatinamente a medida que aumentan el rendimiento exigido y, con él, la dispersión.

Es importante comprender que el riesgo depende no solo de la varianza directa aportada por cada título sino también (y muy especialmente) de su contribución a neutralizar el riesgo causado por las otras acciones presentes en la cartera.

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Carlos Piñeiro Sánchez. Departamento de Empresa. Universidade da Coruña (ISBN: 978-84-09-12483-1)