El modelo de Sharpe

Una limitación del planteamiento de Markowitz es la dimensión de la función objetivo; más específicamente, su creciente exigencia de cálculo a medida que aumenta el número de títulos que pueden formar parte de la cartera. Si combinamos dos acciones, el riesgo está compuesto por la agregación de dos varianzas (una por título) y otras dos covarianzas; con tres acciones hay tres varianzas y seis covarianzas; y con diez acciones debemos incluir diez varianzas y ¡90 covarianzas!. Sharpe desarrolló un planteamiento alternativo basado en las propiedades de las perturbaciones aleatorias, concretamente en su incorrelación.

Las carteras tienen su propia ecuación característica, que podemos estimar con el procedimiento ya expuesto para las acciones. Para ello basta con estimar el valor de la cartera a partir de los precios de las respectivas acciones; sin embargo es más sencillo obtener los estimadores a partir de las ecuaciones de los títulos individuales.

El estimador del regresor ficticio (α_K) y la pendiente o volatilidad (β_K) son medias ponderadas de los estimadores de los respectivos titulos que forman la cartera:

De la misma manera, podemos emplear el modelo de mercado para formular pronósticos de rendimiento y de riesgo:

Vamos a analizar dos carteras (K1, K2) formadas por distintas combinaciones de A, B y C:

La ecuación característica de la cartera es, al igual que para un título individual,

r_Kt = α_K + β_K · r_Mt + ε_Kt

Tratándose de una cartera, los estimadores son una media ponderada de las α_j y β_K de los respectivos títulos. Por ejemplo, para K1, se tiene:

α_{K1 =} α_A · x_A + α_B · x_B + α_C · x_C = -2,6048 · 0,5 + 0,5405 · 0,25 + (-1,2614) · 0,25 = -1,4827

β_{K1 =} β_A · x_A + β_B · x_B + β_C · x_C = 21,5261 · 0,5 + (-4,3362) · 0,25 + 10,1505 · 0,25 = 12,2141

de manera que la ecuación característica de K1 es r_K1 = -1,4827 + 12,2141 · r_Mt. De manera similar obtenemos el modelo de mercado para K2:

r_K2 = -0,6963 + 5,7460 · r_Mt

El rendimiento esperado es, como hemos visto, μ_K = α_K + β_K · μ_M; manteniendo el criterio empleado hasta ahora, asumiremos que μ_M = 0,1233 de manera que

μ_K1 = -1,4827 + 12,2141 · 0,1233 = 0,0238.

El riesgo de K1 incluye una componente sistemática y otra específica. El riesgo de mercado es

RS = β_K1² · σ²_M = 12,2141² · 0,0004 = 0,0630

Como ocurre con los títulos, la componente específica o diversificable (σ²ε_K1) es la varianza del error de estimación del modelo de mercado; podríamos estimarla ajustando esta ecuación, pero precisaríamos las series de rendimientos, y las carteras no tienen precios cotizados. Podemos estimar un valor teórico en función de los precios de los títulos, pero resulta mucho más sencillo agregar los riesgos específicos de los títulos A, B y C:

σ²ε_K1 = σ²ε_A  · x_A² + σ²ε_B  · x_B² + σ²ε_C  · x_C² = 0,0043  · 0,5² + 0,0162  · 0,25² + 0,0095  · 0,25² = 0,0027

Esta expresión es similar a la empleada para formular el riesgo de una cartera, aunque sin covarianzas: el riesgo específico viene dado por las perturbaciones aleatorias de los modelos de mercado, las cuales son por definición incorreladas, es decir, tienen covarianza igual a cero. El riesgo específico de una cartera es la suma de los riesgos específicos de los tíotulos que la componen. Si además le sumamos la componente sistemática, tenemos una estimación del riesgo total:

σ²_K1 = β_K1² · σ²_M + σ²ε_K1 = 0,0630 + 0,0027 = 0,00657

Lo realmente interesante de todo ello es que el riesgo total de una cartera es la suma de la componente sistemática y de las respectivas varianzas residuales: no depende de ninguna covarianza, lo que representa una simplificación drástica en relación a la expresión empleada por Markowitz. Este es el punto de partida del modelo de Sharpe.

Sharpe sugiere reformular el modelo de Markowitz, a partir de las ecuaciones características. Buscamos la combinación de mínimo riesgo, de entre todas las que nos permiten aspirar a una determinada meta de rendimiento (μ_K*), aunque en este caso riesgo y rendimiento se expresan en función de los modelos de mercado, tal y como hemos visto más arriba:

El planteamiento del modelo de Sharpe para nuestros tres títulos sería el siguiente:

Si resolvemos el modelo para μ_K* = 0,01 obtenemos que la combinación óptima es x_A = 0,1584  x_B = 0,7225  x_C = 0,1191 con un riesgo total σ²_K = 0,0096 y una volatilidad β_K = 1,4777. Observe que estos resultados son similares, pero no idénticos, a los obtenidos al resolver el modelo de Markowitz: la razón del sesgo estriba en los errores de estimación cometidos al ajustar los respectivos modelos de mercado.