El modelo de H&W, con ruptura

En ocasiones, puede ocurrir que no exista disponibilidad de productos para atender la demanda, las ventas (en el caso de productos finales) o los consumos (cuando se trata de materiales o recursos requeridos por el proceso productivo). Existen dos términos para referirse a esta situación: ruptura, y rotura.

Estos vocablos son en general intercambiables en lenguaje común (aunque, de manera rigurosa, ruptura sea el término preferido para referirnos a entidades inmateriales, como la confianza, mientras que rotura se emplee más frecuentemente para hacer referencia a la fractura o avería de objetos tangibles, por ejemplo un dispositivo). En el contexto concreto de la gestión de almacenes, el uso depende de las consecuencias del agotamiento del inventario: puede ocurrir que nuestro cliente acepte que el producto se entregue más tarde, cuando se reponga el inventario, y entonces hablamos de una ruptura del inventario; o puede ocurrir que el cliente no acepte estas condiciones y la venta se pierda (rotura). En el caso de la ruptura no se piede la venta, aunque usualmente existirá un coste en términos de imagen o reputación, o quizá una merma en el ingreso; este es el coste de ruptura.

La rotura es indeseable, porque colisiona frontalmente con los objetivos de gestión, de manera que la problemática reside en el tratamiento de los supuestos de ruptura: ¿es económicamente conveniente aceptar esta situación? ¿Qué plazo máximo de demora es asumible por un cliente medio? ¿TIene la ruptura implicaciones comerciales futuras? En este caso vamos a limitarmos a examinar el efecto de la ruptura en el coste de gestión del inventario.

Supongamos que diseñamos el siguiente modelo de gestión: formularemos n pedidos, con una frecuencia t, y de la misma cuantía (q); como admitimos la posibilidad de ruptura, cuando se reciba la mercancía probablemente habrá entregas pendientes, que redirigimos inmediatamente a nuestros clientes y por tanto no llegan al almacén; como consecuencia, el inventario máximo no superará en promedio un límite de S unidades (de manera que estas ventas aplazadas serán, en promedio, q- S). Este inventario nos permitirá atender puntualmente todas las ventas durante un período t1; en ese momento el inventario se agota, y realizamos ventas pactando la entrega aplazada del producto (durante t2).

Este plantemiento implica tres costes:

• Coste de transacción, ocasionado por los pedidos de mercancía
• Coste de almacenamiento, derivado de la posesión del inventario
• Coste de ruptura, que se relaciona con el daño reputacional que se deriva del agotamiento del inventario (Cr)

El coste depende de dos variables (q, S) y debe ser optimizado simultáneamente respecto a ambas. Calculando las respectivas derivadas parciales e igualando a cero (condición necesaria de mínimo) obtenemos las expresiones que nos permiten estimar el lote y el inventario óptimos:

Supongamos que, realizados los cálculos oportunos, estimamos que el agotamiento del inventario ocasiona un quebranto económico de 20€ por unidad y día. Es un valor muy superior al coste de almacenamiento (Cs = 0,5 < 20 = Cr), lo que en principio sugiere que un modelo con ruptura sería indeseable. No obstante, vamos a realizar los cálculos correspondientes, para comprobar si esta intuición es correcta.

El modelo sugiere que deberíamos formular unos 18 pedidos anuales de mercancía, aproximadamente cada cinco días y medio, cada uno de ellos de 749 unidades de producto; cuando se recibe la mercancía, tenemos pendiente la entrega de unas 18 unidades de producto, que se remiten inmediatamente a nuestros clientes, de manera que se destinan al inventario únicamente 731 unidades; con ellas atendemos las ventas medias previstas durante unos 5,47 días, y rompemos solo durante una muy breve fracción de tiempo (asumiendo una jornada laboral de 8 horas diarias, permanecemos sin inventario durante 8 · 0,13 ≈ 1 hora). A continuación se muestra la trayectoria del inventario durante los primeros 30 días de gestión.

La función de costes es ahora una superficie en R³, cóncava, y susceptible de minimización conjunta.

La política óptima con ruptura tiene un coste total (mínimo) de gestión inferior al proporcionado por la política básica sin ruptura (a pesar de que Cr = 20 > 0,5 = Cs):

La explicación radica en las expresiones de los costes óptimos que, recuerde, son:

• Para la política sin ruptura: 
• Para la política con ruptura:

Observe que ambas expresiones son indénticas, salvo por el hecho de que el óptimo con ruptura está multiplicado por . La ratio β = Cr/(Cs + Cr) es la tasa de ruptura del modelo: obviamente 0 ≤ β ≤ 1; además, β = 1 solo cuando el coste de ruptura es infinitamente grande, así que en condiciones ordinarias, será β < 1 y el coste mínimo con ruptura será siempre inferior al coste mínimo sin ruptura.

Formalmente, la tasa de ruptura es la fracción de tiempo durante la cual disponemos de inventario (β = t₁/t) , o si se prefiere, la fracción de ventas que podemos atender inmediatamente (β = S/q). Cuando no admitimos la posibilidad de ruptura (lo que es sinónimo de que atribuimos a Cr un valor infinitamente grante), β = 1 y todas las ventas se atienden puntualmente. En general, a medida que Cr se hace más bajo (o Cs más alto), β se hace más pequeña y efectuamos una proporción mayor de ventas aplazadas. En el caso concreto de nuestro modelo β = S / q = 731,15 / 749,43 = 0,976 o también β = t1/t = 5,34 / 5,47 = 0,976: atendemos puntualmente el 97,6% de las ventas (disponemos de inventario el 97,6% de los días).