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La fórmula de Black & Scholes

Valoración en condiciones de certeza

Si el precio del subyacente tuviese un comportamiento previsible, podríamos anticipar con certeza en qué momento(s) el derivado estará dentro o fuera de dinero. En tal caso, el valor de la opción ahora sería
c = máx (0, S - X · e-rt)
siendo r la tasa continua sin riesgo. Observe que debemos descontar el strike, porque es una cantidad de dinero disponible en la fecha de ejercicio.

Observe que esto equivale a afirmar que la prima no incluye un valor temporal, lo que es una consecuencia directa de la ausencia de indeterminación en el comportamiento de S.

En realidad S está sometido a riesgo y, como sabe, sigue aproximadamente un recorrido aleatorio. Esto crea una incertidumbre en cuanto a si el derivado estará o no dentro de dinero en la fecha de expiración (hasta dicha fecha, si se trata de una opción americana), en definitiva origina un valor temporal.

El modelo de Black y Scholes

El modelo propuesto por Black y Scholes parte de la posibilidad de establecer una posición cubierta (es decir, libre de riesgo) combinando una posición larga en acciones y corta en call de tipo europeo. A partir de este planteamiento derivan una fórmula que permite estimar el valor teórico de, exclusivamente, opciones call de tipo europeo (como veremos, la paridad put-call nos permite valorar las opciones de venta europeas).
donde N(d1) y N(d2) expresan la probabilidad que dejan a su izquierda los respectivos puntos de abscisa, en una distribución normal tipificada. El cálculo de esas abscisas es el siguiente:
donde σ es la volatilidad del subyacente, es decir, la desviación típica de su rendimiento, r es la tasa continua sin riesgo y T es el tiempo remanente hasta la fecha de expiración, expresado en años o fracciones de año.
La fórmula requiere que las opciones y sus subyacentes se negocien en mercados sin fricciones (que no existan limitaciones relevantes de acceso, o restricciones a la negociación) y que los precios del subyacente cambien conforme al modelo browniano que subyace en la teoría de la eficiencia.

Aplicando la fórmula de B&S

Vamos a calcular el valor teórico de una call europea con ejercicio a 1.000€ dentro de nueve meses, instrumentada sobre cierto subyacente que actualmente cotiza a 800€ y cuya volatilidad se estima en σ = 30%; únicamente a efectos de cálculo emplearemos una tasa sin riesgo del 1% anual.

Como sabe c = S · N(d1) - X · N(d2) · e-rT. El primer paso es calcular los valores de las abscisas d1 y d2:

ya que r = ln (1+0,01) ≈ 0,01 y T = 9/12 = 0,75 años. La estimación de la prima es ahora inmediata:

c = 800 · N(-0,7003) - X · e-0,01·0,75 · N(-0,9601) = 26,24€

La volatilidad

El cálculo de la fórmula implica una variable en cierto sentido controvertida, la volatilidad del subtacente. Formalmente σ es la desviación típica del rendimiento geométrico del subyacente; por tanto su cálculo implica estimar en primer lugar la serie de rt = ln (Pt / Pt-1) y a continuación calcular la desviación estándar de la serie; si como es habitual la serie contiene rendimientos diarios, debemos anualizar la volatilidad: el criterio generalmente aceptado consiste en calcular σ = σd · √255 (siendo σd la dispersión de la serie diaria) ya que n = 255 es el número aproximado de sesiones de mercado durante un año natural.

Retomando el caso anterior, suponga que los precios medios del subyacente en los últimos cuatro años han sido los siguientes:

t Pt
0 894,23
1 618,75
2 644,3
3 800

Habida cuenta de su tamaño, la dispersión de la muestra se estima a través de la cuasivarianza; la raíz de este estadístico es la volatilidad requerida por la fórmula de B&S:

t Pt ln(Pt / Pt-1) (rt - r*)2
0 894,23 -  
1 618,75 -0,3683 0,1097
2 644,3 0,0405 0,0060
3 800 0,2164 0,0643
Sumas -0,1114 0,1800
Media -0,0371 0,0900 Cuasivarianza
0,3000 Dispersión

La estimación de la volatilidad es no obstante controvertida por dos razones estrechamente relacionadas. Definida en los términos expuestos más arriba, su cálculo descansa sobre la teoría de la eficiencia, que predice que el riesgo por período es constante y que la dispersión debería agregarse en proporción a la raíz cuadrada del tiempo (σT = σ · √T); por tanto en condiciones normales el riesgo histórico debería ser un buen estimador del riesgo futuro. Ocurre sin embargo que, con frecuencia, la cotización de la opciones no se corresponda con los valores pronosticados por la fórmula de B&S: una explicación generalmente aceptada para esta divergencia es que la percepción de riesgo por parte de los inversores es diferente de la volatilidad histórica
Con frecuencia, los cálculos relativos a las primas de las opciones se realizan empleando una medida diferente de dispersión, la volatilidad implícita, que es una estimación del riesgo que los inversores están anticipando cuando cotizan precios para las opciones. La volatilidad implícita es habitualmente suministrada por el mercado, aunque podemos estimarla empleando la fórmula de B&S al revés, es decir: determinando cuál tendría que ser la volatilidad para que la prima pronosticada por la fórmula sea igual a la cotizada.

Suponga que nuestra opción call cotizase a 26,8€. Un precio mayor se corresponde con una volatilidad también más grande, de manera que la volatilidad implícita es superior a la histórica (σ' > 0,3); si la diferencia fuese suficientemente pequeña podríamos estimarla a través del factor vega (υ = δc/δσ que es la sensibilidad de la prima a cambios infinitesimales en la volatilidad), pero también resulta sencillo resolver el problema con una simulación basada en hoja de cálculo: puede comprobar que c = 26,8 ↔ σ' = 30,25%.

La herramienta de búsqueda de objetivos
Carlos Piñeiro Sánchez (CC BY-NC-SA)

¿Y las opciones de venta?

En su especificación original, la fórmula de Black & Scholes no permite calcular opciones de venta; podemos adaptar el modelo en función de relaciones de equilibrio basadas en el arbitraje en el mercado, o también podemos recurrir a la paridad put-call:

p = c - S0 + X · e-rt

La prima teórica de la put, emitida en las condiciones expuestas más arriba, sería:

p = c - S0 + X · e-rt = 26,24 - 800 + 1.000 · e-0,01 · 9/12 = 218,81€

Hoja de cálculo