El modelo de Lorie & Savage

Lorie y Savage (L&S) plantean una estrategia genérica para la asignación de capital en escenarios de racionamiento, con proyectos competitivos. Su propuesta requiere que todos los proyectos sean simples y no tengan requerimientos netos de capital más allá del período inicial; opera en un entorno de certeza, por tanto el presupuesto y los movimientos de tesorería se entienden ciertos. También se presume un coste de capital conocido y estable lo que, como veremos, resulta controvertido.

El objetivo del modelo es establecer un programa óptimo de inversiones, que maximice el VAN de la cartera de proyectos, dentro de las limitaciones impuestas por el presupuesto; en principio se asume que los proyectos no son replicables. Lorie & Savage examinan inicialmente el escenario en el que que las inversiones no son divisibles, y a continuación suavizan esta hipótesis, admitiendo la ejecución parcial

• Si los proyectos son enteros, debe pretenderse la maximización del VAN y la minimización simultánea de la financiación ociosa; esto implica que la clasificación de mayor a menor VAN no es, necesariamente, adecuada.
• Si los proyectos son divisibles, interesa obtener el mayor valor añadido por cada unidad monetaria invertida. Se trataría por tanto de clasificar a los proyectos en función de su índice de rentabilidad (IR = VAN / G₀).

L&S no llegan a formular analíticamente el problema en términos de programación lineal, aunque esbozan sus fundamentos conceptuales.

Supongamos que nuestra empresa dispone de un presupuesto de 40€ que se debe distribuir entre los tres siguientes proyectos, divisibles y no replicables. El proyecto B tiene el VAN más alto, sin embargo cada uno de los 40€ invertidos en él proporcionan solo 0,75€ de valor añadido; el proyecto A tiene un VAN sustancialmente inferior pero también requiere menos desembolso, y en términos reales aporta 0,8€ por euro invertido.

L&S sugieren que la empresa debería invertir en el proyecto A hasta i) completarlo (no es replicable), o ii) agotar el presupuesto. El proyecto A requiere 25€ de forma que, una vez efectuado al 100%, quedaría un presupuesto de 15€ que se destinará al proyecto B, el cual podría realizarse en 15/40 = 37,5%. El VAN esperado de este programa es 20 · 1 + 30 · 0,375 = 31,25€. El proyecto C puede descartarse, ya que tiene un VAN negativo y no condiciona la ejecución de los otros dos: incluso si existiese presupuesto remanente, no se le asignaría en ningún caso.

Esta sería la expresión de nuestro problema en términos de programación matemática:

Max 20A+30B-5C

Sujeto a:

25A+40B+10C≤40

A≤1

B≤1

C≤1

La solución gráfica pone de manifiesto que:

1. La solución óptima (1   0,375) es un punto extremo del conjunto factible, el situado en el punto de tangencia con la función objetivo y que da lugar al más alto valor para ésta.
2. La segunda restricción (A≤1) es activa: el proyecto A se realiza al 100%, por tanto dicha restricción no tiene holgura
3. También es activa la restricción financiera (se consume todo el presupuesto disponible).
4. La solución se halla en el punto extremo definido por la intersección de las restricciones activas

No debería tomar esta última observación como un criterio válido para establecer la solución: salvo en casos excepcionales, resulta imposible determinar qué restricciones son activas, sin conocer los niveles de utilización de los distintos procesos.

Como vimos anteriormente, los programas lineales continuos aportan información económica de extraordinaria importancia; en particular, ofrecen una valoración de los recursos en función de su escasez o carestía: los precios sombra, o precios duales. En el caso del modelo de L&S el recurso es financiación, de manera que los precios sombra deben interpretarse como el coste de oportunidad del dinero, es decir, como el lucro yacente que se produce al agotarse la financiación y no poder acometer todos los proyectos, o no poder efectuarlos al 100%.

La solución final de nuestro problema es la siguiente:

Como anticipamos, deberíamos efectuar por completo el proyecto A y dedicar el presupuesto remanente al proyecto B, realizándolo en un 37,5%. Esta programación agota el presupuesto (25 · 1 + 40 · 0,375 = 40), por tanto no hay holgura, es decir, financiación remanente y esta restricción es activa: limita real y efectivamente la solución, en el sentido de que todavía hay oportunidades de inversión, que podríamos aprovechar en caso de poder incrementar el presupuesto. De ser así destinaríaos esta financiación adicional al proyecto B, y la solución nos indica que el VAN se incrementaría en 0,75€ por cada euro adicional invertido. Este es el precio sombra de la primera restricción, el cual obviamente se corresponde con el coste de oportunidad del dinero: es el coste financiero máximo de esa financiación adicional.

Supongamos que esa financiación adicional proviniese de un préstamo, con un coste efectivo del 10%. La operación nos interesaría porque, si bien tiene un coste del 10%, esa financiación nos permite invertir generando un VAN adicional del 75%; al margen de otras consideraciones, todavía nos interesaría si el préstamo se concediese al 60%, incluso al 70%, pero no para un coste superior al 75%.

La interpretación de los precios sombra se basa en el Teorema de la Holgura Complementaria. Recuerde que las restricciones inactivas (con holgura) tienen un precio sombra nulo, ya que implican la existencia de recursos ociosos; y que un precio sombra diferente de cero implica que la restricción correspondiente es activa. Recuerde también que estas implicaciones no se verifican en sentido inverso: una restricción activa podría tener un precio sombra nulo.

El modelo de Lorie y Savage, así como los que examinamos a continuación, son programas matemáticos que pueden resolverse empleando las herramientas de optimización de Excel y Calc. Haga clic aquí para obtener detalles.