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Valoración cuando el subyacente abona rendimientos

Dividendos, cupones y otros rendimientos

Los pagos de dividendos o cupones, y en general la percepción de cualquier tipo de utilidad asociada a la posesión del subyacente, altera la cotización del activo. Por ejemplo si una acción acción paga hoy un dividendo de 1€, su valor financiero se reduce en esa misma cantidad y también debería hacerlo su cotización, ceteris paribus el resto de condicionantes.

Como la prima de las opciones depende funcionalmente de la cotización del subyacente, debemos considerar la posibilidad de que se produzcan pagos durante el plazo que falta hasta la fecha de expiración. Una buena parte de las opciones tiene vencimientos relativamente próximos, de forma que esta situación no es ni mucho menos generalizada; pero resulta muy sencillo adaptar tanto la fórmula de Black y Scholes como el modelo binomial, simplemente corrigiendo los precios estimados.

¿Qué ocurre si se espera un dividendo equivalente al 5% del precio?

Supongamos que las opciones consideradas más arriba fuesen a abonar un dividendo equivalente al 5% del precio, dentro de justamente un mes; la opción tenía fecha de expiración en dos meses y simulábamos precisamente dos cambios de precio, de manera que en el contexto de nuestro modelo este dividendo se pagará en t = 1.

Lo único que tenemos que hacer para afrontar esta nueva situación es calcular el modelo con los precios ex-dividendo, es decir, las cotizaciones teóricas del subyacente justamente después del cobro de ese rendimiento.

Partiendo de un precio de contado de 6€, la acción podía apreciarse hasta 6 · 1,525 = 9,15€ en t = 1; pero si en ese momento se paga un dividendo, el precio caerá aproximadamente en la cuantía de éste, de manera que cabe esperar una cotización igual a 6 · 1,525 · (1 - 0,05) = 8,6925. En t = 1 el precio también podría caer un 66,67% hasta 6 · (1 - 0,6667) = 4€, pero si además se paga ese dividendo, debería resultar una cotización de 6 · (1 - 0,6667) · (1 - 0,05) = 3,8€.

Los precios en t = 2 se calculan conforme al procedimiento ya conocido: si en t = 1 la cotización ha aumentado, en t = 2 podría volver a hacerlo y situarse en 8,6925 · 1,525 = 13,2561; o también podría reducirse hasta 8,6925 · (1 - 0,6667) = 5,7059. Observe que aplicamos las mismas tasas medias de alza y baja, pero que obtenemos precios teóricos diferentes porque partimos de las cotizaciones ex-dividendo de t = 1.

Los cálculos para la call, tanto europea como americana, son a partir de aquí exactamente iguales a los expuestos más arriba: partimos de los valores intrínsecos en t = 2 y vamos retrotrayendo los valores, aplicando las probabilidades riesgo-neutrales, hasta llegar a t = 0.

SUBYACENTE EUROPEA AMERICANA
0 1 2 0 1 2 0 1 2
      5,2561
13,2561 5,2561 0,6925
8,6925 2,0446 2,0446  
6,0000 5,7950 0,7953 0,0000 0,0000 0,0000
3,8000 0,0000 0,7953 0,0000  
    2,5333     0,0000 0,0000
0,0000 

Operando de la forma ya conocida, obtenemos las primas para las opciones de venta europea y americana:

SUBYACENTE EUROPEA AMERICANA
0 1 2 0 1 2 0 1 2
            0,0000
13,2561 0,0000 0,0000
8,6925 1,3454 1,3454  
6,0000 5,7950 3,0820 2,2050 2,0000 2,2050
3,8000 4,1933 3,0861 4,2000  
    2,5333     5,4667 4,1933 5,4667
 

Los pagos de dividendos tienen un efecto asimétrico en las opciones, precisamente porque tienden a minorar el precio de contado del subyacente, de manera que reducen el valor de las opciones de compra y elevan la prima de las opciones de venta.

Sin dividendos Con dividendos
Europea Americana Europea Americana
Call 0,9009 0,9009 0,7953 3,0820
Put 2,8876 2,8917 0,7953 3,0861

Hoja de cálculo