Opciones de tipo americano

Las opciones de tipo americano son ejercitables en cualquier momento desde ahora y hasta la fecha de expiración, si se presenta una oportunidad favorable para ello; en concreto, cuando el ejercicio inmediato proporciona un resultado superior al esperado en caso de no ejercer ahora. Estas características hacen que no puedan ser valoradas empleando la fórmula de Black y Scholes y que la paridad no sea en general aplicable.

Como veremos existen algunas excepciones a esta regla general. Por ejemplo, las call de tipo americano sí pueden ser valoradas con el modelo de B&S si no está previsto que el subyacente abone rendimientos o utilidades durante el plazo hasta la fecha de expiración (puede demostrarse que en estas condiciones concretas no se producen oportunidades efectivas de ejercicio anticipado, de manera que la call americana tiene el mismo valor que su equivalente europea). 

Con carácter general, las opciones de tipo americano deben valorarse empleando métodos de simulación, como del binomial de Cox, Ross y Rubinstein.

Supongamos que las opciones consideradas más arriba fuesen de tipo americano y, por tanto, susceptibles de ejercicio anticipado. ¿Cómo cambiaría su valoración?

Como vimos, se trataba de opciones call y put con ejercicio a 8€ y vencimiento en 2 meses, instrumentadas sobre un subyacente que actualmente cotiza a 6€; simulamos dos cambios de precio, en cada uno de los cuales la cotización puede aumentar un 52,5% o reducirse en un 33,33% lo que daba lugar a un abanico de precios entre 2,67€ (si se producen dos caídas) y 13,95€ (si se producen dos alzas). La call europea, emitida en estas condiciones, debería tener una prima c = 0,9009€.

La opción americana se valora de manera similar, recordando que es susceptible de ejercicio en todo momento, de manera que en cada caso debemos considerar el valor binomial (que en la práctica es el valor esperado en caso de "no ejercer ahora") y el intrínseco (que es el resultado de "ejercer ahora").

Si se producen dos aumentos de precio y el subyacente cotiza a 13,95€ la opción está dentro de dinero, y su valor es máx (0, 13,95 - 8) = 5,95 (porque es la fecha de expiración); con una o dos caídas de precio la opción está fuera de dinero y su valor es cero (observe que esta es la fecha de expiración, de manera que el valor temporal es igual a cero y la prima es justamente el intrínseco). Un período antes, si el subyacente cotiza a 9,15€, el inversor tendría dos alternativas:

• Ejercitar ahora obteniendo máx (0, S-X) = máx (0, 9,15 - 8) = 1,15
• Esperar, lo que supone un valor esperado cu = (5,9538 · p + 0 · (1-p)) / (1 + 0,0008) = 2,3160. Las probabilidades riesgo-neutrales son las empleadas más arriba (p = 0,3893 y 1-p = 0,6107); la tasa de interés por período es también i₁₂ = 0,01/12 = 0,0008.

Basta con retrotraer los cálculos hasta t = 0 para comprobar que no existe ninguna situación en la que el ejercicio anticipado sea más conveniente que la alternativa de esperar; por tanto el derecho a ejercer antes de la expiración, si bien existe, no tiene valor y la opción americana tiene una prima idéntica a la de su homóloga europea (C = c = 0,9009€).

Veamos ahora qué ocurre con la put americana. En t = 2 la opción está dentro de dinero solo si se producen una o dos caídas en el precio del subyacente; un período atrás, si el subyacente cotiza a 9,15€, el inversor tiene dos alternativas:

• Ejercer ahora, obteniendo máx (0, X-S) = máx (0, 8 - 9,15) = 0
• Esperar, con un valor esperado pu = (0 · p + 1,9 · (1-p)) / (1 + 0,0008) = 1,1593

de manera que un inversor racional no ejercerá anticipadamente su derecho, en estas condiciones. Sin embargo, si el precio del subyacente se reduce en t = 1 hasta 4€, el inversor puede elegir entre

• Ejercer ahora, obteniendo máx (0, X-S) = máx (0, 8 - 4) = 4€
• Esperar, con un valor esperado pu = (1,9 · p + 5,3333 · (1-p)) / (1 + 0,0008) = 3,9933

lo que constituye una oportunidad de ejercicio anticipado: si el subyacente se deprecia en t = 1 la opción sería susceptible de ejercicio anticipado (ya que 4 > 3,9933). Completando nuestros cálculos concluimos que en t = 0

• Un ejercicio anticipado proporcionaría máx (0, X-S) = máx (0, 8 - 6) = 2€
• Si no ejercemos podemos esperar un valor p = (1,1593 · p + 4 · (1-p)) / (1 + 0,0008) = 2,8917

de manera que la prima de la put americana (P = 2,8917) es mayor que la de una put europea en las mismas condiciones (p = 2,8876). La posibilidad de que la dinámica de S nos lleve a esa oportunidad de ejercicio anticipado hace que la opción americana tenga ese valor adicional. Precisamente porque la opción americana cotiza con prima, la paridad put-call no puede verificarse.