Ley compuesta

Retroalimentación

La ley de capitalización compuesta permite calcular capitales disponibles en cualquier momento del futuro y que son equivalentes a otro disponible ahora. En este caso C₀ = 100.000 y el objetivo es llevar esa cantidad de dinero a t = 2 años aplicando j = 15%:

C₂ = C₀ · (1 + j)² = 100.000 · (1 + 0,15)² = 132.250€

Observe que cuando se aplica la ley compuesta el crecimiento del montante no es lineal (como ocurre con la ley simple), sino exponencial:

Retroalimentación

Aplicando la ley simple, el montante final en t = 2 es

C₂ = C₀ · (1 + 2 · j) = 100.000 · (1 + 2 · 0,15) = 130.000

que es una cantidad inferior a la obtenida con capitalización compuesta. 

El montante al final de t = 1 es 115.000€ e incluye 15.000€ de intereses (son los intereses devengados durante este primer año: 0,15 · 100.000 = 15.000) que, cuando se emplea la ley compuesta, se acumulan al principal. El montante al final de t = 2 se calcula como

C₂ = C₁ · (1 + j) = 115.000 · (1 + 0,15) = 132.250

es decir, el montante en t = 2 se calcula capitalizando el montante final en t = 1 (incluyendo no solo el capital inicial, sino también los intereses generados hasta ese momento).

Es fácil comprobar que la diferencia (132.250 - 130.000 = 2.250) son los intereses devengados en t = 2 por los intereses generados en t = 1:

0,15 · 15.000 = 2.250€

Retroalimentación

201.135,72 = 100.000 · 1,15ⁿ → n = 5 años

Retroalimentación

C₃ = C₀ · (1+ij³ → 300 · 1,08³ = 377,92 ≠ 561,97 (no equivalentes)

Como puede comprobar, el montante acumulado al cabo de tres años (377,91) es muy inferior al objetivo de 561,97. Respetando el capital inicial, esa meta solo puede alcanzarse si se aplica un interés más elevado y/o si se amplía el plazo de la operacion.

Retroalimentación

C_n = C₀ · (1 + j)ⁿ → 561,97 = 300 · 1,08ⁿ → n ≈ 8,16 años ≈ 8 años y 2 meses.

Retroalimentación

C₃ = C₀ · (1 + j)³ → 561,97 = 300 · (1 + j)³ → j = 0,2327

Retroalimentación

C_n = C₀ · (1 + n · j) → 700 = 500 · (1 + n · 0,04) → n = 10 años

Retroalimentación

C_n = C₀ · (1 + j)ⁿ → 700 = 500 · 1,04ⁿ → n = 8,58 años

Como cabría esperar, el montante objetivo se alcanza antes cuando la operación se valora con la ley compuesta, porque en ese caso los intereses se calculan sobre el montante total (capital más intereses) generado al final del período inmediatamente anterior.

Retroalimentación

El siguiente gráfico resume la estructura de la operación:

Nuestro problema se reduce a calcular el valor actual de las 12 · 5 = 60 mensualidades que nos va a pagar el banco. Observe que este valor no es 60 · 2.000 = 120.000 porque esos pagos no son inmediatos, sino que están distribuidos a lo largo de los cinco próximos años. Aunque las mensualidades tienen la misma cuantía monetaria su valor decae progresivamente, como sabe debido a la inflación, el riesgo, etc. En este momento el valor total de esas 60 mensualidades es la suma de sus respectivos valores descontados:

de manera que tendríamos que realizar ahora una imposición de 101.003,9€. Observe que cada pago debe valorarse a la tasa fraccionada i₁₂ = 0,07/12 porque el intervalo entre dos pagos consecutivos es de un mes.

El cálculo es relativamente tedioso, debido al número de capitales. Hay una solución más sencilla: las 60 mensualidades de la operación forman una renta - ya que sus cuantías son iguales, se valoran al mismo interés, se pagan a intervalos regulares de tiempo, y están vinculadas a una misma contraprestación -, por tanto pueden tratarse conjuntamente. Para que la operación se financieramente justa, el valor actual de esta renta tiene que ser igual al capital impuesto:

VA = 2.000 · a_60¬0,07/12 = 101.003,99€

donde a_60¬0,07/12 es el valor actual de una renta unitaria con 60 mensualidades postpagables iguales que se valora a i₁₂ = 0,07/12. Observe que no es posible, por ejemplo, calcular anualidades y a continuación dividirlas por doce. Necesariamente, se ha de calcular y valorar una renta mensual.

Retroalimentación

La operación está ahora diseñada con dos tramos de interés, de manera que debemos manejar dos rentas diferentes:

• La primera, de 36 mensualidades, se descuenta al tanto mensual equivalente al 7% anual; el resultado así obtenido está valorado ahora.
• La segunda, de 24 mensualidades, se descuenta al tanto mensual equivalente al 9%. El resultado obtenido está valorado un mes antes del primer pago, es decir, en t = 36. Esta renta está diferida de manera que para calcular su valor actual debemos descontarla al tanto de interés aplicable en el período 0-36, que es el equivalente al 7%. Observe que valoramos la renta a la tasa que rige para sus pagos (9%) y a continuación la actualizamos a la tasa correspondiente al período de diferimiento (7%), sin olvidar que se trata de una renta fraccionada.

El valor actual de esta serie de pagos es el siguiente:

VA = 2.000 · a_36¬0,07/12 + 2.000 · a_24¬0,09/12 · (1+0,07/12)^-36 = 100.280,58€.

Retroalimentación

La equivalencia financiera exige que el valor actual de los cobros sea igual al valor actual de los pagos:

C₀ = C₃ · (1 + j)^-3 + C₅ · (1 + j)^-5

3.000 = 2.000 · 1,13^-3 + C₅ · 1,13^-5 → C₅ = 2973,51€

Retroalimentación

I₁ = 0,08 · 3000 = 240€

I₃ = 0,08 · C₂ = 0,08 · (C₀ · 1,08²) = 0,08 · 3000 · 1,08² = 279,936

Retroalimentación

C₁₈ = 3.000 · 1,08¹⁸ = 11.988,06€

Retroalimentación

C₅ = 422 · 1,08⁵ = 620 (son equivalentes)

Retroalimentación

C₃ = 422 · 1,08³ = 531,60€

Retroalimentación

C_t = 422 · 1,08^t → t = 6,58 años ≈ 6 años y 7 meses

Retroalimentación

C₀ = 500 · 1,06^-3,5 = 407,75€

Retroalimentación

C₀ = 500 · 1,06^-3,5 = 407,75€

Retroalimentación

El importe que cancela la deuda es superior: C₀ = 450,86€

Retroalimentación

C₂₀ = 6.000 · 1,08¹⁵ · 1,1⁵ = 30.652,86€

Retroalimentación

C₂₀ = 6.000 · 1,08¹⁵ · 1,04⁵ = 23.156,57€

Retroalimentación

C₃ = 6.000 · 1,075 + 8.000 · 1,075^-1 + 3.000 · 1,075^-3 = 16.306,74€

Retroalimentación

• Montante final: C₃ = 600 · 1,06³ = 714,61€
• Interés efectivo: 600 = 714,61 · (1+i)^-3 → i = 0,06

Retroalimentación

Debe entenderse que el tanto ofrecido es el tipo de interés nominal de la operación, por supuesto anual; si se capitaliza semestralmente, a cada subperíodo le corresponde 0,06 / 2 = 0,03. En los tres años habrá seis capitalizaciones:

• Montante final: C₆ = 600 · 1,03⁶ = 716,43€
• Interés efectivo: 600 = 716,43 · (1+i₂)^-6 → i₂ = 0,03 e i = (1 + 0,03)² - 1 = 0,0609. También se puede obtener directamente como 600 = 716,43 · (1+i)^-3 → i = 0,0609

Retroalimentación

• Montante final: C₃₆ = 600 · 1,005³⁶ = 718,01€
• Interés efectivo: 600 = 718,01 · (1 + i₁₂)^-36 → i₁₂ = 0,005 e i = (1 + 0,005)¹² - 1 = 0,0617. También se puede obtener directamente como 600 = 718,01 · (1 + i)^-3 → i = 0,0617

Retroalimentación

Un 2% trimestral es equivalente a i = 1,02⁴ - 1 = 0,0824 efectivo anual. El montante al cabo de tres años es C₃ = 600 · 1,0824³ = 760,94€ y la rentabilidad efectiva es 600 = 760,94 (1+i)^-3 → i = 0,0824.

Retroalimentación

Un 5% semestral es equivalente a i = 1,05² - 1 = 0,1025 efectivo anual; el tanto trimestral equivalente es i₄ = 1,1025^1/4 - 1 = 0,02469. El montante al cabo de tres años es C₁₂ = 600 · 1,02469¹² = 804,06€ y la rentabilidad efectiva i = 0,1025.

Retroalimentación

VA = 300 · a_10¬0,07 = 2.107,07€

VF = 300 · S_10¬0,07 = 4.144,93€

o también, VF = 2.107,07 · 1,07¹⁰ = 4.144,93€

Retroalimentación

VA = 150 · a_20¬0,07/2 = 2.131,86€

VF = 150 · S_20¬0,07/2 = 4.241,95€

o también, VF = 2.131,86 · 1,035²⁰ = 4.241,95€

Observe que los valores actual y final de una renta anual de término α no son el doble de los VA y VF de una renta semestral de término α/2: la ley compuesta implica que los intereses no son proporcionales al tiempo.

Retroalimentación

90.000 = α · a_360¬0,08/12 → α = 660,39€

Retroalimentación

VA = 660,39 · a_360¬0,08/12 = 90.000€

Retroalimentación

VF = 660,39 · S_360¬0,08/12 = 984.215,67€

Retroalimentación

El coste efectivo es la tasa r que verifica la equivalencia entre los valores financieros de las cantidades pagadas y las cantidades percibidas:

90.000 = 660,39 · a_360¬r12 → r₁₂ = 0,6667%

Por convenio el coste efectivo de la financiación, al igual que la rentabilidad efectiva de las inversiones, se expresa en términos anuales:

i = (1 + 0,006667)¹² - 1 = 0,0830

Retroalimentación

• El interés, plazo, etc. de la operación permanecen constantes
• Tampoco cambia la mensualidad, que se calcula siempre en función del nominal del préstamo (con independencia de cuál sea la cantidad neta realmente percibida por el prestatario)
• El prestatario abona una comisión de 0,01 · 90.000 = 900€ simultáneamente a la entrega del nominal, de manera que en términos reales percibe 90.000 · (1 - 0,01) = 90.000 - 900 = 89.100€.
• El efecto neto es el siguiente: el deudor percibe solo 89.100€ pero paga mensualidades por una deuda real de 90.000€, de manera que el coste efectivo es necesariamente superior:

89.100 = 660,39 · a_360¬r12 → r₁₂ = 0,6755% → r = (1 + 0,006755)¹² - 1 = 0,0841

Retroalimentación

C₃₆₀ = 100 · S_360¬0,05/12 = 83.225,86€

Retroalimentación

C₃₆₀ = 100 · S_240¬0,05/12 · (1 + 0,07/12)¹²⁰ + 100 · S_120¬0,07/12 = 99.912,33€

Retroalimentación

C₀ = α / i₁₂ = 200 / [0,1/12] = 24.000€

Retroalimentación

24.000 = α · a_10¬0,1 → α = 3.905,89€

Retroalimentación

VF = 450 · S_12¬0,09/12 · (1+0,09/12) = 5.670,63€

(observe que la renta es prepagable).

Retroalimentación

Para el alquiler del primer año, VA = 450 · a_12¬0,09/12 · (1+0,09/12) = 5.184,30€

o también, VA = 5.670,63 · (1 + 0,09/12)^-12 = 5.184,30€