Los precios sombra

Considere la situación de una empresa pretende optimizar la producción de dos artículos, A y B, cuyos márgenes unitarios son 2€ y 5€ respectivamente. Estos productos se elaboran con dos recursos limitados (X e Y), de acuerdo con los siguientes consumos unitarios:

de manera que producir una unidad de A requiere una unidad del factor X y cinco del factor Y; la producción de B consume también una unidad de X, pero genera dos unidades de Y (observe el signo negativo del coeficiente técnico). Disponemos de 100 unidades del factor X y, por exigencias propias de la gestión de inventarios, debemos consumir al menos 20 unidades del recurso Y.

Conceptualmente, el programa lineal a resolver es el siguiente:

• Objetivo: maximizar el margen total proporcionado por las ventas que, solo por conveniencia, asumiremos iguales a los niveles de producción (es decir, no hay almacenamiento). La función a optimizar es Z = 2 · A + 5 · B
• Restricciones: las derivadas del carácter limitado de X (consumo no superior a 100 unidades) y del consumo mínimo de Y (20 unidades).
• Además, A y B deben tener utilizaciones no negativas (deben tomar valores iguales o superiores a cero) porque así lo exige su condición de cantidades de producto.

El modelo puede formularse como sigue:

Max. Z = 2 · A + 5 · B

Sujeto a:

A + B ≤ 100

5 · A – 2 · B ≥ 20

A ≥ 0

B ≥ 0

Conjunto factible

Es el conjunto de los puntos (A, B) que verifican simultáneamente las cuatro restricciones. En adelante los referiremos solo a las dos primeras ya que, al manejar solo el primer cuadrante, garantizamos la no negatividad de las soluciones.

En la imagen inferior, la zona factible para la primera restricción es el semiplano a la izquierda (sombreado en verde); la zona factible para la segunda restricción es el semiplano a la derecha (azul). Ambas están además limitadas al primer cuadrante, dado que las variables de decisión no pueden tomar valores negativos. El conjunto factible es convexo, de manera que nuestro problema tiene solución.

Como sabemos, la solución óptima está en un punto extremo, es decir, en uno de los vértices de esa zona factible.

Podemos enumerar fácilmente esos puntos extremos de la siguiente forma:

• Punto E: es la intersección de las dos restricciones. Resolvemos el sistema (formulado ahora en términos de igualdad) y obtenemos (A, B) = (31,43  68,57)
• Punto F: es la intersección de la primera restricción con el eje de abscisas (100, 0)
• Punto G: la intersección de la segunda restricción con el eje de abscisas (4, 0)

Solución óptima

Es el punto extremo en el que la función objetivo toma el valor máximo. En este caso caso se trata de E = (31,43  68,57), donde Z = 405,71.

Gráficamente, también podemos identificar la solución trazando la función objetivo (línea en color rojo, en el gráfico inferior): la solución óptima es el punto en el que dicha función es tangente al conjunto factible.

La solución completa del programa es la siguiente:

Ambas restricciones se cumplen en términos de igualdad: se emplea la totalidad del recurso X (100 unidades) y se consume exactamente la cantidad mínima exigida de Y (20 unidades).

Los precios sombra son la rentabilidad marginal de estos recursos: la variación de Z si pudiésemos disponer de una unidad adicional del recurso X (Ω1 = 4,14€), o si se exigiese consumir una unidad más del recurso Y (Ω2 = -0,43).

Observe que los precios sombra pueden tener signo positivo o negativo. Al aumentar la disponibilidad de X hasta 100+1 = 101 unidades podemos incrementar la producción y el valor de la función objetivo; pero si el consumo mínimo de Y aumentase hasta 20+1=21 la solución empeoraría, de ahí que Ω2 < 0: puede comprobar si exigimos consumir al menos 21 unidades de Y la solución óptima pasa a ser A = 31,57; B = 68,43; Z = 405,29 (la variación neta es 405,2857 - 405,7143 = - 0,4286€ = Ω2).