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Capitalización fraccionada

Capitalización fraccionada con la ley compuesta

Dado que empleamos la ley compuesta, el montante al final de cada período se calcula capitalizando el montante inicial, incluyendo los intereses devengados en el pasado. Por ello, la frecuencia con la que se devengan los intereses es relevante. Vamos a examinar una inversión de 5.000€ con un interés anual del 2% que podemos fraccionar libremente.

Si optamos por pagos mensuales, a cada mes le corresponde un interés (que llamamos fraccionado) i12 = 0,02 / 12 = 0,001667. Recuerde que estamos aplicando el mismo interés nominal (j) sobre el mismo capital inicial; pero tras doce capitalizaciones obtenemos un montante final de 5.100,92€... ¡que es diferente (superior) al que resulta con una sola capitalización!

La situación es similar con otras periodicidades. Por ejemplo, con capitalizaciones semestrales, a cada período le correspondería un interés i2 = 1%, y el montante final sería C2 = 5.000 · (1 + 0,01)2 = 5.100,5€. Nuevamente, obtenemos un montante final también diferente.

Mes Montante
1 5008,33
2 5016,68
3 5025,04
4 5033,42
5 5041,81
6 5050,21
7 5058,63
8 5067,06
9 5075,50
10 5083,96
11 5092,43
12 5100,92

Comprobemos nuestros resultados: con capitalización mensual, 5.000€ hoy son equivalentes a 5.100,92€ dentro del un año. Debe existir una tasa i que verifique

5.100,92 = 5.000 · (1 + i)

Operando, se tiene que i = 0,02018.

Análogamente, debe existir otra tasa que verifique la equivalencia entre 5.000€ hoy y el montante final con capitalización semestral:

5.100,5 = 5.000 · (1 + i') → i' = 0,02010

Las tasas i e i' son los tantos efectivos y expresan la rentabilidad (o coste) reales de la operación. Es fácil comprobar que el tanto efectivo (i) y el tanto fraccionado (ik) verifican la siguiente relación:

i = (1 + ik)k - 1

Recuerde que cuando se emplea capitalización fraccionada hay tres tantos de interés diferentes. El interés nominal es el acordado contractualmente para la operación; el tanto fraccionado es el resultado de dividir el nominal en tantas fracciones como períodos de capitalización se haya pactado (por ejemplo con capitalización mensual k = 12 y el tanto fraccionado es i12 = j / 12); el efectivo (i) es el equivalente anual del fraccionado, por ejemplo i = (1 + i12)12 - 1. Naturalmente, i ≠ j.

El fraccionamiento, en la práctica

En la hoja de cálculo anexa se valora un capital inicial de 1.000€ al 5% con vencimiento en un año, en cuatro escenarios: pago anual de intereses (k = 1) y fraccionamientos mensual (k = 12), bimestral (k = 6) y cuatrimestral (k = 3). 

Estos cálculos se corresponden con diferentes tipos de operaciones reales. Por ejemplo, un préstamo a un año que se cancela con un solo pago; o una imposición a plazo en la que se acuerda la aplicación de la ley compuesta (típicamente, se valoran con la ley simple).

Que el fraccionamiento sea mensual significa que los intereses se van a devengar cada mes, o si lo prefiere, que el año se divide en k = 12 partes a efecto de calcular los intereses. El tanto de interés nominal también se divide en partes proporcionales, y a cada mes le corresponde i12 = i / 12 = 0,05 / 12 = 0,00417.

Observe que el hecho de que los intereses se devenguen cada mes o cada semestre no significa que se paguen, sino que se acumulan al capital inicial. Precisamente por ello nos encontramos con que la operación implica tres tasas de interés diferentes:

  • El interés nominal, que es el pactado contractualmente y que se aplica a efecto de calcular la operación
  • El interés fraccionado, que es la parte proporcional del interés nominal que es aplicable a cada fracción de año - al tiempo que media entre dos devengos consecutivos de intereses -
  • El interés efectivo, que es la rentabilidad (o coste) real de la operación (sin considerar comisiones y otros gastos)

Aunque el interés nominal es siempre el mismo, el efectivo varía con el fraccionamiento: si se tratase de una operación de préstamo, el coste sería tanto mayor cuanto más alta es la frecuencia con la que devengamos intereses. Este resultado puede parecer contraintuitivo, pero recuerde que esta operación se cancela con un solo pago al vencimiento; por tanto, no hay analogía con los préstamos comunes, en los que cada cuota cancela una parte de la deuda.

Puede descargar la hoja de cálculo y experimentar con otros capitales, incluso con otras tasas de interés y diferentes fraccionamientos