Préstamos

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Es importante observar que pagar tres términos amortizativos iguales (en este caso, tres anualidades) no es sinónimo de pagar tres cuotas de amortización iguales.Que las anualidades sean iguales significa que la cantidad total pagada en cada año (la suma de los intereses y la devolución del principal) es constante. Matemáticamente, esto significa que los términos amortizativos forman una renta constante (en este caso postpagable, ya que los pagos se realizan al final de cada año), de manera que debe verificarse la siguiente la siguiente equivalencia financiera :

donde α es el término amortizativo y a_3¬0,07 es el valor actual de una renta unitaria constante postpagable, de tres términos y valorada al 7% anual (puede comprobar, a través de las correspondientes tablas financieras o de la función VA de hoja de cálculo, que a_3¬0,07 = 2,62).

El cuadro de amortización del préstamo es el siguiente:

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El coste efectivo es la tasa r que verifica la equivalencia financiera entre los pagos y los cobros realmente efectuados por el prestatario, y que son los mostrados en la última fila de la siguiente tabla. 

El coste efectivo se obtiene resolviendo la correspondiente equivalencia:

Observe que el coste efectivo difiere del interés nominal; más adelante comprobaremos también que dicho coste cambia cuando se emplean otros métodos de amortización.

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El algoritmo de Newton - Raphson fue diseñado para identificar las raíces de ecuaciones polinómicas. Partiendo de una semilla se calcula una serie de valores que converge rápidamente a la raíz; el procedimiento a seguir consiste en calcular recurrentemente r-F(r)/F'(r) siendo F(r) la equivalencia financiera y F'(r) su derivada.

La tabla siguiente muestra los resultados obtenidos al aplicar el algoritmo al préstamo con término constante, partiendo de una semilla r = 0,07.

El proceso iterativo finaliza cuando la diferencia entre dos tasas consecutivas es suficientemente pequeña. Los resultados indican que el coste efectivo del préstamo es aproximadamente igual a 0,0811 - observe que cometemos un pequeño error de estimación -.

Si disponemos de una hoja de cálculo, podemos emplear la herramienta Búsqueda de objetivos, o también la función TIR. En este caso, debe ser prudente ante la posibilidad de que la operación sea un proyecto mixto y por tanto pueda existir una multiplicidad de raíces, es decir, varias TIR, que la hoja de cálculo podría no gestionar de la manera esperada. Las operaciones bancarias usuales, en particular los préstamos, suelen ser proyectos puros. También puede aproximar el coste despejando el valor de la renta unitaria y tratando de hallarla a continuación en una tabla financiera.

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La Tasa Anual Equivalente es una interpretación del concepto financiero de coste efectivo, que se estima de conformidad con lo previsto en la normativa del Banco de España. Sin entrar en detalles jurídicos, basta con saber que en el cálculo de la TAE se incluyen solo las prestaciones bilaterales, es decir, los pagos que realiza el prestatario y que van destinados al prestamista; no se incluyen, por el contrario, aquellos que se realizan a terceros.

En este caso tendríamos:

• La prestación: entrega de 90.000€ al prestatario
• La contraprestación
  • Pago de los gastos iniciales que van dirigidos al banco (apertura, estudio, etc.): 900€ (no se incluyen los que perciben terceros, como el corredor de comercio)
  • Pago de tres anualidades iguales de 34.294,65€

Observe que no incluiríamos el pago de 900€ al corredor de comercio, porque no es una prestación bilateral. La TAE se obtiene estimando la tasa r que verifica la siguiente equivalencia financiera:

Este enlace le conduce a un simulador de la TAE desarrollado por el Banco de España.

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Tras abonar la segunda mensualidad, queda pendiente una tercera de 34.294,65€ que se pagaría justamente dentro de un año; para cancelar anticipadamente tendríamos que pagar el valor actual (en t = 2) de esa tercera cuota, que serían 34.294,65 / 1,07 = 32.051,07€. Además, se devengan las comisiones pactadas contractualmente, en este caso la de cancelación anticipada. Los pagos son los siguientes:

El coste efectivo es ahora r = 0,0934. Puede obtenerlo fácilmente resolviendo la siguiente expresión (que, previa transformación, puede tratarse como una ecuación de segundo grado):

88.200 = 34.294,65 · (1+r)^-1 + 67.948,28 · (1+r)^-2 → r = 0,0934

El coste efectivo aumenta debido a i) impacto de la comisión de cancelación anticipada; y ii) el cambio en la estructura temporal de la operación (que pasa a ser a dos años: los gastos y comisiones se redistribuyen en un período inferior al previsto inicialmente)..

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Un préstamo se amortiza mediante el pago de cuotas (anualidades, mensualidades, etc.) denominadas términos amortizativos. Cada término comprende amortización (devolución del nominal) y pago de intereses, cuyas cuantías respectivas dependen del método de amortización acordado por las partes.

Si el préstamo se cancela mediante el pago de tres cuotas de amortización iguales, cada año pagaremos 90.000 / 3 = 30.000€ de amortización, más la parte correspondiente a intereses. Ésta se calcula siempre aplicando el tipo de interés correspondiente sobre el saldo vivo del préstamo (la deuda real) al inicio del período correspondiente.

La forma más sencilla de examinar los pagos del préstamo es construir su cuadro de amortización - que con frecuencia, está incorporado al contrato o cuando menos a su documentación complementaria -.

Al principio del primer período, la deuda es el nominal del préstmo (90.000€) y sobre esa cantidad pagamos intereses: 0,07 · 90.000 = 6.300€. La suma de ambas partes es el término amortizativo del préstamo, o de manera más simplificada, su cuota: 36.300€.

Tras este primer pago, la deuda se reduce hasta 60.000€; en el segundo año pagamos 0,07 · 60.000 = 4.200€ de intereses más 30.000€ de amortización(en total, 34.200€; observe que, si bien la amortización es constante, la cuota o término amortizativo no lo es).

Pagamos además un 7% de intereses: que, sumados a la devolución del capital, ascienden a 36.300€. Naturalmente, si los cálculos son correctos, el saldo resultante al término del tercer año debe ser igual a cero.

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El coste efectivo resulta de resolver la equivalencia financiera entre los pagos y los cobros efectuados por el prestatario:

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En una operación como esta solo hay dos pagos: una prestación inicial, y una contraprestación final. La cuantía que amortiza el préstamo se obtiene fácilmente como C_n = C₀ · (1+i)ⁿ. En este caso,

C₃ = 90.000 · 1,07³ = 110.253,87€

El coste efectivo se obtiene resolviendo la equivalencia financiera entre las cantidades realmente cobradas y pagadas. En este caso el prestatario abona 110.253,87€ pero percibe solo 90.000 - 1.800 = 88.200€:

88.200 = 110.253,87 · (1 + r)^-3 → r = 0,072.

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En este caso, cada año se pagan los intereses (una cantidad constante i · C₀, ya que el saldo vivo del préstamo es siempre el mismo); al vencimiento se paga también el nominal (C₀).

El cuadro de amortización del préstamo es el siguiente:

Cada año se pagan 0,07 · 90.000 = 6.300€ de intereses - esta cantidad no varía porque el nominal de la deuda es siempre el mismo: el préstamo se amortiza con el pago de la última anualidad, al término del tercer año -.

Para calcular el coste efectivo debemos tener en cuenta, además, todos los restantes pagos efectuados por el prestatario - en particular comisiones, gastos y similares -:

Como en los casos anteriores, el coste efectivo resulta de resolver la equivalencia financiera entre los 88.200€ recibidos y los tres pagos efectuados para amortizar la deuda. Puede comprobar que r = 0,077

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Cuadro de amortización:

Flujos netos de caja para el prestatario:

El coste efectivo se obtiene resolviendo la equivalencia financiera entre cobros y pagos; puede comprobar que r = 0,0946.

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Anualidad del préstamo:

180.000 = α · a_4¬8% → α = 54.345,74 €

Flujos de tesorería de la operación:

Los gastos iniciales están compuestos por:

• Los honorarios del notario: 850€
• La comisiíon de estudio: 0,001 · 180.000 = 180€

Resolviendo la equivalencia financiera, se obtiene que el coste efectivo r = 0,0826

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La TAE se calcula computando sólo las prestaciones bilaterales; por tanto, quedarían fuera los honorarios del notario:

Operando, se tiene que TAE = 0,0804

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La TAE se basa en las prestaciones bilaterales; este procedimiento tiene sentido porque el prestamista puede desconocer la cuantía exacta de los pagos a terceros. Es cierto que, en este caso, el banco se encargará de retener los fondos en nombre del notario, pero con carácter general pueden existir pagos que no sean conocidos por el banco.

Una consecuencia de ello es que la TAE infraestima el coste efectivo real del préstamo; en ocasioens se afirma que la TAE expresa la rentabilidad real del préstamo para el banco, aunque este planteamiento debe ser matizado: el banco soporta otros costes internos que no están incluidos en esa expresión.

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El saldo del préstamo, una vez pagada la primera anualidad, es el valor actual de las tres cuotas pendientes, valoradas al 8%: 140.054,26€. Puede comprobarse que la nueva cuota semestral es de 26.717,02 €. La tabla inferior muestra los flujos de tesorería, con la nueva configuración para el préstamo:

El coste efectivo resultante es el 0,0410 semestral, equivalente al 0,0837 anual.

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La tabla inferior presenta el cuadro de amortización del préstamo, después de haber sido renegociado en t = 1 (por tanto, no se incluye la primera cuota, que se habría pagado inmediatamente antes de este cambio)

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VA = 200 · a_120¬0,08/12 = 16.484,30€

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VF = 200 · S_48¬0,08/12 · (1 + 0,07/12)⁷² + 200 · S_72¬0,07/12 = 34.963,75€

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El importe nominal del préstamo puede deducirse a partir del cobro reflejado en el cuadro (20.000€) o, también, a partir de las cuotas de amortización: 6.666,67 · 3 = 20.000€.

El tipo de interés es la tasa j nominal que verifica, por ejemplo para el año 1: 2.000 = j · 20.000 → j = 0,1

El vencimiento de la operación son tres años.

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Cuota de amortización constante

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Se está aplicando una comisión de apertura de 200€, equivalente al 1% del nominal. Podrían existir otras - por ejemplo por amortización o cancelación anticipada, renegociación, mora, etc. -, que se devengarían solo en determinadas circunstancias, y que no figuran en el cuadro de flujos aportado.