Teoría de juegos

Considere la situación de un inversor que pretende elegir entre cuatro posibles destinos para sus fondos: futuros sobre mercancías, una cartera de renta variable, participaciones de un fondo de inversión, o una cartera formada por diferentes títulos de renta fija.

No se dispone de detalles sobre la distribución de probabilidad de los rendimientos; sin embargo, el inversor ha estimado el resultado que podría proporcionar cada alternativa en tres coyunturas de mercado: alcista, estable y bajista.

La decisión se adopta en régimen de incertidumbre ya que no podemos asignar probabilidades a los escenarios ni a los resultados. Incluso en este contexto, la teoría de juegos nos permite identificar posibles soluciones; sin embargo, debe recordar que no podemos optimizar en sentido estricto, sino únicamente hallar elecciones razonablemente satisfactorias, considerando que la información disponible es imperfecta. Hay diferentes criterios, entre los que el decisor elige a su discreción.

Que podamos elegir un criterio u otro no significa que el resultado de su aplicación sea el mismo. Precisamente porque manejamos información imperfecta, no hay una "solución correcta" ni una elección óptima. Algunos criterios priorizan la minimización de los costes de oportunidad, otros pretenden minimizar los resultados negativos. La elección del criterio es en parte consecuencia de las preferencias del decisor.

En cualquier caso, antes de abordar el análisis de las alternativas, debemos verificar si el problema puede simplificarse. Es posible que una o más de las alternativas estén dominadas, en el sentido de que sean objetivamente peores que otra(s) en cualesquiera de los escenarios del entorno. La inversión en futuros es claramente mejor que la renta variable en un entorno bajista, sin embargo esta última sería preferible en un contexto alcista o estable: ninguna de ellas domina a la segunda. Sin embargo, la renta fija es peor que los futuros, cualquiera que sea el escenario (-11 > -13; 5 > 3; 20 > -1) de manera que está dominada y podemos prescindir de ella. En adelante consideraremos solo tres opciones: futuros, renta variable y fondo de inversión.

Criterio maximin

Implica elegir el menos malo de los perores resultados posibles. En primer lugar se identifica el peor resultado que podría ocasionar cada alternativa; el decisor elige la alternativa que proporciona el mayor de estos peores resultados (de ahí la denominación del criterio).

Los peores resultados posibles son -11 (futuros), 1 (renta variable) y 6 (fondo de inversión); de todos ellos, el mayor ("menos malo") es 6 de manera que el criterio maximin nos sugeriría adquirir participaciones del fondo de inversión.

Criterio de Laplace

Se basa en la lógica de que, en un escenario de incertidumbre, todos los escenarios deben considerarse equiprobables, precisamente porque no tenemos evidencia para discriminar la verosimilitud de cada uno de ellos. Asumiendo que los pagos expresan beneficios o resultados, preferiremos más a menos, de forma que la elección recaerá nuevamente en el fondo de inversión:

Criterio de Hurwicz

Implica buscar una solución de equilibrio entre los mejores y peores resultados, considerando un coeficiente de optimismo (α) expresivo del grado en el que el decisor espera que el entorno tienda a evolucionar hacia la situación más favorable, o hacia la más desfavorable.

El coeficiente de optimismo toma valores entre 0 (máximo pesimismo) y 1 (máximo optimismo); en el supuesto de que no exista evidencia suficiente, basta con asignar un coeficiente igual a 0,5.

La elección recae en la alternativa que posee el máximo coeficiente Zi = α · Máx aij + (1-α) · Mín aij.

La tabla inferior muestra el análisis de la decisión para α = 0,6; la elección debería recaer en este caso en los futuros sobre commodities.

Criterio de Savage

Más que un criterio de elección, Savage propone una modificación previa que convierte los elementos de la matriz de pagos en costes de oportunidad, o de manera más rigurosa, lamentos. El propósito del criterio es por tanto contribuir a mitigar los costes de oportunidad que se producen cuando tomamos una decisión careciendo de una parte de la información necesaria.

Volvamos a la matriz de pagos, y considere qué decisión habría adoptado si tuviese la certeza de que el entorno sería alcista: la elección adecuada habría sido invertir en un fondo de inversión, que proporcionaría un retorno igual a 8. Como carecemos de esa certeza, quizá habremos adquirido futuros sobre commodities y estaremos perdiendo 11, de manera que soportamos un coste de oportunidad es igual a 11+8 = 19. Si optamos por la renta variable estaremos ganando 4, pero podríamos estar ganando 8 si hubiésemos elegido "correctamente"; soportamos un lucro yacente igual a 4.

Los restantes lamentos se calculan de forma análoga. La matriz resultante contiene algunos ceros (cuando hemos elegido la mejor opción para un escenario determinado), pero todos los demás elementos serán negativos representando una pérdida neta.

A continuación, elegimos una alternativa aplicando alguno de los criterios señalados más arriba. Por ejemplo, de acuerdo con el criterio de Laplace, la alternativa más adecuada sería el fondo de inversión, que daría lugar a un lamento medio de -4,67 (frente a -7 y -8 de los futuros y la renta variable, respectivamente).

Con frecuencia, para facilitar la interpretación de la matriz, se suma a todos y cada uno de sus elementos el lamento más negativo. En este caso Mín (aij) = -19 de forma que la matriz resultante tras el cambio de escala sería la siguiente:

Observe que la elección sigue recayendo en el fondo de inversión, que es la alternativa con mayor valor para el criterio de Laplace; sin embargo, el cambio de escala hace que el resultado aumente exactamente en esa cuantía (observe que 14,33 - 19 = -4,67).