Previsión causal

La simplicidad de la extrapolación es también una debilidad crucial: las variables económicas y financieras no existen en abstracto, sino que resultan de la influencia de múltiples factores. Es razonable sospechar que la calidad de los pronósticos mejorará si identificamos esas variables y cuantificamos su influencia específica, dentro de un modelo econométrico.

Los rendimientos de los títulos resultan de los cambios que experimentan los precios de mercado, que se explican por las decisiones de compra y venta que realizan los inversores a medida que descuentan noticias e información relevante. Por tanto, deberíamos ser capaces de expresar esos rendimientos como función de uno o más regresores.

En este contexto, nos interesa identificar regresores que sean comunes a todas las acciones, porque en último término vamos a generalizar un modelo explicativo del rendimiento, y no podemos hacerlo si seleccionamos grupos heterogéneos de variables explicativas. El "truco" empleado para ello consiste en considerar el mercado como una cesta de valores, y el índice de mercado (M) como un agregado de los precios de dichas acciones: el rendimiento del índice es una media ponderada de los respectivos rendimientos de los títulos, de lo que se deriva que ambos rendimientos (índice y títulos) están, por definición correlacionados. Todos los títulos forman parte del mercado y ponderan en el índice, de manera que el rendimiento de todos y cada uno de ellos puede expresarse como función del rendimiento del índice de mercado.

La validez de este argumento está expuesta a algunas críticas; no obstante múltiples modelos ampliamente contrastados, como CAPM y la Teoría de Cartera, se apoyan en la hipótesis de que podemos explicar el rendimiento de las acciones mediante un modelo lineal simple (la ecuación característica o modelo de mercado) cuyo único regresor es el rendimiento de M:

r_jt = α_j + β_j · r_Mt + ε_jt

Por el contrario, el modelo APT se basa en la presunción de que r_jt depende de la influencia de dos o más factores, a priori indeterminados. Las ecuaciones características resultantes, y el propio modelo, son multifactoriales.

Para estimar el modelo de mercado basta con resolver el sistema formado por las dos condiciones de mínimo para la suma de cuadrados de los errores:

Alternativamente, también podemos calcular los estimadores como

donde βj es la volatilidad del activo, σ_jM es la covarianza entre su rendimiento y el rendimiento de la cartera de mercado, y σ²_M es la varianza estimada de dicha cartera de mercado; μ_j es la rentabilidad esperada del título j. Como veremos, la beta es un elemento esencial en la formación del rendimiento del título, y también una componente relevante de su riesgo.

Una vez estimada la ecuación característica, podemos emplearla para formular pronósticos para los títulos; únicamente precisamos i) el cumplimiento de la hipótesis de permanencia estructural; y ii) estimaciones del rendimiento y el riesgo esperados para la cartera de mercado:

• μ_j = E(α_j + β_j · r_Mt + ε_jt) = α_j + β_j · μ_M
• σ²_j = β²_j · σ²_M + σ²_εj = riesgo sistemático + riesgo específico [RS + RE]
• σ_gh = β_g · β_h · σ²_M

Vamos a ajustar el modelo de mercado para el título A. El método más sencillo consiste en calcular en primer lugar la pendiente como β_j = σ_jM / σ²_M y a continuación la ordenada en el origen, por diferencias.

La covarianza entre los rendimientos del título A y del índice de mercado es:

de donde resulta una volatilidad β_A = σ_AM / σ²_M = 0,0091 / 0,0004 = 21,52614.

El estimador del regresor ficticio, u ordenada en el origen, puede obtenerse a partir de la siguiente expresión:

μ_j = α_j + β_j · μ_M → α_j = μ_j - β_j · μ_M 

α_A = 0,0501 - 21,52614 · 0,1233 = -2,6048

de manera que la ecuación característica del título A es r_At = -2,6048 + 21,5261 · r_Mt.

El modelo así obtenido es una línea que atraviesa la nube de puntos definida por las observaciones reales de rendimiento, minimizando la suma de cuadrados de los errores; en este caso la muestra contiene solo tres datos, y la ecuación característica logra ajustarlos con gran exactitud.

La finalidad principal de la ecuación característica es ayudaarnos a formular pronósticos para el título, a partir de estimaciones del rendimiento y el riesgo de M. Los estadísticos de M pueden obtenerse de diferentes formas, incluyendo métodos estadísticos más o menos sofisticados, pero en este caso emplearemos una simple extrapolación; por tanto μ_M = 0,1233 y σ²_M = 0,0004 de donde resultan los siguientes pronósticos para A:

μ_A = -2,6048 + 21,6261 · μ_M = -2,6048 + 21,5261 · 0,1233 = 0,0501

σ²_A = β_A² · σ²_M + σ²_εA = 21,6261² · 0,0004 + σ²_εA

donde σ²_εA es la varianza de la perturbación aleatoria del modelo de mercado. La perturbación no es observable, pero se manifiesta en la existencia de errores de estimación (e_t). Por ejemplo, en t = 1 el rendimiento de mercado fue 0,15: si el modelo ajustase correctamente, habríamos observado que A generaba una rentabilidad igual a -2,6048 + 21,5261 · 0,15 = 0,6241; sin embargo, el rendimiento real fue 0,6610 de manera que cometemos un error de estimación igual a 0,0370.

La varianza de la perturbación se estima como σ²_εA = σ²_eA. En un modelo correctamente ajustado el error tiene una esperanza matemática nula, de manera que su varianza es igual a SCE / N. En este caso σ²_eA = 0,0130 / 3 = 0,0043.

Los modelos de mercado para B y C son, respectivamente, los siguientes:

r_Bt = 0.5405 - 4,3462 · r_Mt

r_Ct = -1,2614 + 10,1505 · r_Mt

La tabla inferior sintetiza los resultados de estas estimaciones, y los pronósticos de rendimiento y riesgo: