Vamos a optimizar y evaluar carteras formadas por estas tres acciones, que como sabe, cotizan en el Mercado Continuo español. Emplearemos las series reales de precios del período 2/1/2009 - 1/12/2009, que se han obtenido del mercado.

En primer lugar calculamos los estadísticos históricos, así como las respectivas ecuaciones características. Los cálculos se realizan a partir de las series de rendimientos geométricos (ln[P_t/Pt_-1]).

	rIt	rBt	rCt	rMt
Media histórica	-5,35E-05	3,84E-04	1,38E-03	0,0009
Cuasivarianza	0,0007	0,0006	0,0009	0,0003
Varianza	0,0007	0,0006	0,0009	0,0003

σij	Iberia	Bankinter	Cintra
Iberia	0,0007	0,0002	0,0003
Bankinter	0,0002	0,0006	0,0003
Cintra	0,0003	0,0003	0,0009

Las ecuaciones características estimadas son:

• r_It = -0,00061 + 0,6365 · r_Mt          σ²ε_I = 0,00055
• r_Bt = -0,0038 + 0,8645 · r_Mt          σ²ε_B = 0,00041
• r_Ct = 0,00031 + 1,2169 · r_Mt          σ²ε_C = 0,00047

De acuerdo con ellas, y con los estadísticos de la cartera de mercado, podemos formular los siguientes pronósticos de rendimiento y riesgo:

	Iberia	Bankinter	Cintra
μj	-5,35E-05	3,84E-04	1,38E-03
σ2j	6,55E-04	6,04E-04	8,59E-04

Modelo de Sharpe

(para los tres títulos considerados)

Modelo de Markowitz

A continuación se muestran los resultados de una simulación, consistente en la generación de 1.500 carteras con distribuciones aleatorias de los tres títulos; estas carteras conforman el conjunto factible, la zona sombreada en azul.

Tomados aisladamente, los títulos son claramente peores que las carteras porque, incluso cuando se forman sin un criterio racional, la mera casualidad estadística proporciona una cierta defensa frente al riesgo. Si limitamos las oportunidades de inversión a estos tres títulos, nuestras mejores posibilidades estarían situadas a lo largo del borde de la frontera, justo en su perímetro superior.

No obstante, en el mercado se negocian muchos otros títulos; la curva en trazo verde proporciona una estimación de la frontera eficiente para el mercado bursátil español, y la ubicación en ella de la cartera de mercado (marcador triangular verde), que identificamos con el IGBM. Tanto M como la frontera eficiente están situadas a la izquierda del conjunto factible de nuestro modelo porque incorporan las combinaciones de todas las acciones cotizadas en el mercado.

La cartera de mercado (M) es un activo un tanto especial. Todas las carteras de la frontera eficiente están diversificadas; sin embargo M posee el mayor grado de diversificación posible, ya que comprende estrictamente todos los títulos del mercado.Esto le confiere una propiedad especial: paga la más alta prima por unidad de riesgo, de entre todas las carteras de la frontera eficiente. La prima por unidad de riesgo se mide a través del índice de Sharpe:

donde μ_F es la rentabilidad esperada de un activo (F) que no posee riesgo, directo ni indirecto (usualmente se identifica con la deuda públilca). A continuación se muestran los valores del índice de Sharpe para las tres acciones consideradas, para la cartera de mercado, y para una cartera arbitraria formada en partes iguales por Cintra, Iberia y Bankinter. Los cálculos se realizan para una tasa sin riesgo μ_F = 0,000081 diaria, que equivale a un 3% anual. La ventaja relativa de M resulta evidente.

	σ	μ	ISH
Cintra	0,0293	0,0014	0,0445
Bankinter	0,0246	0,0004	0,0123
Iberia	0,0256	-0,0001	-0,0053
Mercado	0,0162	0,0009	0,0494
Mixta 33%	0,1273	0,0003	0,0014

A la vista de todo ello tiene sentido que los inversores formen sus carteras utilizando en mayor o menor medida la combinación de mercado; por ejemplo, M podría combinarse con el activo sin riesgo. Este es el punto de partida del modelo CAPM (capital assets pricing model).