Supongamos que al cabo de un año, y tras abonar la primera anualidad, el préstamo se renegocia y, sin modificar el TIN de la operación, se acuerda pagar semestralidades en los tres años restantes. ¿Cuáles serían los pagos y el coste efectivo, en las nuevas condiciones?

Cuadro de amortización:

	Semestre	Saldo inicial	Intereses	Amortización	Cuota	Saldo final
Año 1	1	-	-	-	-	-
	2	180.000,00	16.200,00	39.360,36	55.560,36	140.639,64
Año 2	3	140.639,64	6.328,78	20.938,20	27.266,99	119.701,44
	4	119.701,44	5.386,56	21.880,42	27.266,99	97.821,02
Año 3	5	97.821,02	4.401,95	22.865,04	27.266,99	74.955,97
	6	74.955,97	3.373,02	23.893,97	27.266,99	51.062,01
Año 4	7	51.062,01	2.297,79	24.969,20	27.266,99	26.092,81
	8	26.092,81	1.174,18	26.092,81	27.266,99	0

Flujos de tesorería de la operación:

Semestre	0	1	2	3	4	5	6	7	8
CF	178.200	0	-55.560,36	-27.266,99	-27.266,99	-27.266,99	-27.266,99	-27.266,99	-27.266,99

Resolviendo la equivalencia financiera, se obtiene r₂ = 0,0469 (recuerde que los pagos son semestrales, por tanto también lo es la tasa resultante al resolver la equivalencia). El coste efectivo es la tasa anual equivalente:

r = (1 + 0,0469)² - 1 = 0,0961.

Hemos vendido nuestra vivienda a una entidad financiera, que nos va a pagar una renta postpagable de 200€ mensuales durante los próximos diez años. Si la operación se valora al 8% anual.

¿Qué precio de venta hemos pactado?

VA = 200 · a_120¬0,08/12 = 16.484,30€

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Supongamos que imponemos estos pagos también  para comprarnos otra casa al cabo de diez años. Si el tipo de interés es el 8% para los cuatro primeros y el 7% para los seis últimos, ¿qué capital final se obtiene?

VF = 200 · S_48¬0,08/12 · (1 + 0,07/12)⁷² + 200 · S_72¬0,07/12 = 34.963,75€

Una empresa ha obtenido un préstamo de 180.000€ al 8% anual, que se amortizará mediante cuatro anualidades postpagables iguales. Entre las condiciones de la operación se hallan una comisión de estudio del uno por mil y otra de cancelación anticipada de 600€; el contrato se ha elevado a escritura pública, y el notario ha percibido unos honorarios de 850€.

Formule la expresión que permite calcular el coste efectivo de la operación.

Anualidad del préstamo:

180.000 = α · a_4¬8% → α = 54.345,74 €

Flujos de tesorería de la operación:

Período	0	1	2	3	4
Cobros	180.000,00
Pagos	1.030,00	54.345,74	54.345,74	54.345,74	54.345,74
Cuotas		54.345,74	54.345,74	54.345,74	54.345,74
Gastos	1.030,00
Flujo neto	178.970,00	-54.345,74	-54.345,74	-54.345,74	-54.345,74

Los gastos iniciales están compuestos por:

• Los honorarios del notario: 850€
• La comisiíon de estudio: 0,001 · 180.000 = 180€

Resolviendo la equivalencia financiera, se obtiene que el coste efectivo r = 0,0826

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¿Cuál sería la TAE comunicada por el banco al prestatario?

La TAE se calcula computando sólo las prestaciones bilaterales; por tanto, quedarían fuera los honorarios del notario:

Período	0	1	2	3	4
Cobros	180.000,00
Pagos	180	54.345,74	54.345,74	54.345,74	54.345,74
Cuotas	0	54.345,74	54.345,74	54.345,74	54.345,74
Gastos	180
Flujo neto	179.820,00	-54.345,74	-54.345,74	-54.345,74	-54.345,74

Operando, se tiene que TAE = 0,0804

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¿Qué diferencias observa entre el coste financiero real de la operación y su estimación a través de la TAE?

La TAE se basa en las prestaciones bilaterales; este procedimiento tiene sentido porque el prestamista puede desconocer la cuantía exacta de los pagos a terceros. Es cierto que, en este caso, el banco se encargará de retener los fondos en nombre del notario, pero con carácter general pueden existir pagos que no sean conocidos por el banco.

Una consecuencia de ello es que la TAE infraestima el coste efectivo real del préstamo; en ocasioens se afirma que la TAE expresa la rentabilidad real del préstamo para el banco, aunque este planteamiento debe ser matizado: el banco soporta otros costes internos que no están incluidos en esa expresión.

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Un año después de la firma del contrato, la empresa se plantea la posibilidad de renegociar el préstamo, de forma que las amortizaciones sean semestrales. Formule la expresión que permitiría calcular el coste efectivo, en estas nuevas condiciones

El saldo del préstamo, una vez pagada la primera anualidad, es el valor actual de las tres cuotas pendientes, valoradas al 8%: 140.054,26€. Puede comprobarse que la nueva cuota semestral es de 26.717,02 €. La tabla inferior muestra los flujos de tesorería, con la nueva configuración para el préstamo:

Semestre	Flujos netos
0	178.970,00 €
1	0,00 €
2	-54.345,74 €
3	-26.717,02 €
4	-26.717,02 €
5	-26.717,02 €
6	-26.717,02 €
7	-26.717,02 €
8	-26.717,02 €

El coste efectivo resultante es el 0,0410 semestral, equivalente al 0,0837 anual.

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Finalmente, la empresa y el prestamista acuerdan (siempre al cabo de un año) un cambio en el sistema de amortización: el préstamo se cancelará mediante el pago de tres cuotas de amortización iguales, y se van a pagar intereses semestralmente. Construya el cuadro de amortización del préstamo.

La tabla inferior presenta el cuadro de amortización del préstamo, después de haber sido renegociado en t = 1 (por tanto, no se incluye la primera cuota, que se habría pagado inmediatamente antes de este cambio)

Semestre	Saldo inicial	Amortización	Intereses	Saldo final
3	140.054,26		5.602,17	140.054,26
4	140.054,26	46.684,75	5.602,17	93.369,50
5	93.369,50		3.734,78	93.369,50
6	93.369,50	46.684,75	3.734,78	46.684,75
7	46.684,75		1.867,39	46.684,75
8	46.684,75	46.684,75	1.867,39	0

¿Cuál sería el coste, si el préstamo se cancela mediante el pago de cuatro anualidades postpagables iguales?

Cuadro de amortización:

Año	Saldo inicial	Inntereses	Amortización	Cuota	Saldo final
1	180.000,00	16.200,00	39.360,36	55.560,36	140.639,64
2	140.639,64	12.657,57	42.902,79	55.560,36	97.736,85
3	97.736,85	8.796,32	46.764,04	55.560,36	50.972,81
4	50.972,81	4.587,55	50.972,81	55.560,36	0

Flujos netos de caja para el prestatario:

Año	0	1	2	3	4
Cobros	180.000,00
Nominal del préstamo	180.000,00
Pagos	1.800,00	55.560,36	55.560,36	55.560,36	55.560,36
Comisión apertura	1.800,00
Amortizaciones		55.560,36	55.560,36	55.560,36	55.560,36
Com.  amortización		0	0	0	0
Flujo neto	178.200,00	-55.560,36	-55.560,36	-55.560,36	-55.560,36

El coste efectivo se obtiene resolviendo la equivalencia financiera entre cobros y pagos; puede comprobar que r = 0,0946.

¿Cuáles son los pagos, si el préstamo se cancela mediante el pago de tres cuotas de amortización iguales?

Un préstamo se amortiza mediante el pago de cuotas (anualidades, mensualidades, etc.) denominadas términos amortizativos. Cada término comprende amortización (devolución del nominal) y pago de intereses, cuyas cuantías respectivas dependen del método de amortización acordado por las partes.

Si el préstamo se cancela mediante el pago de tres cuotas de amortización iguales, cada año pagaremos 90.000 / 3 = 30.000€ de amortización, más la parte correspondiente a intereses. Ésta se calcula siempre aplicando el tipo de interés correspondiente sobre el saldo vivo del préstamo (la deuda real) al inicio del período correspondiente.

La forma más sencilla de examinar los pagos del préstamo es construir su cuadro de amortización - que con frecuencia, está incorporado al contrato o cuando menos a su documentación complementaria -.

Período	Saldo inicial	Intereses	Capital	Saldo final
1	90000	6300	30000	60000
2	60000	4200	30000	30000
3	30000	2100	30000	0

Al principio del primer período, la deuda es el nominal del préstmo (90.000€) y sobre esa cantidad pagamos intereses: 0,07 · 90.000 = 6.300€. La suma de ambas partes es el término amortizativo del préstamo, o de manera más simplificada, su cuota: 36.300€.

Tras este primer pago, la deuda se reduce hasta 60.000€; en el segundo año pagamos 0,07 · 60.000 = 4.200€ de intereses más 30.000€ de amortización(en total, 34.200€; observe que, si bien la amortización es constante, la cuota o término amortizativo no lo es).

Pagamos además un 7% de intereses: que, sumados a la devolución del capital, ascienden a 36.300€. Naturalmente, si los cálculos son correctos, el saldo resultante al término del tercer año debe ser igual a cero.

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¿Cuál es el coste efectivo?

El coste efectivo resulta de resolver la equivalencia financiera entre los pagos y los cobros efectuados por el prestatario:

	0	1	2	3
Cobros	90.000,00
Pagos	1.800,00	36.300,00	34.200,00	32.100,00
Apertura	900
Corretaje	900
Cuota am.		30.000,00	30.000,00	30.000,00
Cuota int.		6.300,00	4.200,00	2.100,00
Flujo neto	88.200,00	-36.300,00	-34.200,00	-32.100,00

¿Cuáles son los pagos y el coste efectivo, si el préstamo se amortiza mediante el pago de tres anualidades iguales?

Es importante observar que pagar tres términos amortizativos iguales (en este caso, tres anualidades) no es sinónimo de pagar tres cuotas de amortización iguales.Que las anualidades sean iguales significa que la cantidad total pagada en cada año (la suma de los intereses y la devolución del principal) es constante. Matemáticamente, esto significa que los términos amortizativos forman una renta constante (en este caso postpagable, ya que los pagos se realizan al final de cada año), de manera que debe verificarse la siguiente la siguiente equivalencia financiera :

donde α es el término amortizativo y a_3¬0,07 es el valor actual de una renta unitaria constante postpagable, de tres términos y valorada al 7% anual (puede comprobar, a través de las correspondientes tablas financieras o de la función VA de hoja de cálculo, que a_3¬0,07 = 2,62).

El cuadro de amortización del préstamo es el siguiente:

Período	Saldo inicial	Intereses	Capital	Término	Saldo final
1	90.000,00	6.300,00	27.994,65	34.294,65	62.005,35
2	62.005,35	4.340,37	29.954,28	34.294,65	32.051,07
3	32.051,07	2.243,58	32.051,07	34.294,65	0,00

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¿Cuál es el coste efectivo del préstamo?

El coste efectivo es la tasa r que verifica la equivalencia financiera entre los pagos y los cobros realmente efectuados por el prestatario, y que son los mostrados en la última fila de la siguiente tabla. 

	0	1	2	3
Cobros	90.000,00
Pagos	1.800,00	34.294,65	34.294,65	34.294,65
Apertura	900
Corretaje	900
Cuota		34.294,65	34.294,65	34.294,65
Flujo neto	88.200,00	-34.294,65	-34.294,65	-34.294,65

El coste efectivo se obtiene resolviendo la correspondiente equivalencia:

Observe que el coste efectivo difiere del interés nominal; más adelante comprobaremos también que dicho coste cambia cuando se emplean otros métodos de amortización.

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¿Cómo estimaría el coste efectivo?

El algoritmo de Newton - Raphson fue diseñado para identificar las raíces de ecuaciones polinómicas. Partiendo de una semilla se calcula una serie de valores que converge rápidamente a la raíz; el procedimiento a seguir consiste en calcular recurrentemente r-F(r)/F'(r) siendo F(r) la equivalencia financiera y F'(r) su derivada.

La tabla siguiente muestra los resultados obtenidos al aplicar el algoritmo al préstamo con término constante, partiendo de una semilla r = 0,07.

r	F(r)	F'(r)	r'
7,00%	-1.800,00	164.433,25	8,09%
8,09%	-29,88	159.014,32	8,11%
8,11%	-0,01	158.923,42	8,11%
8,11%	0	158.923,39	8,11%
8,11%	0	158.923,39	8,11%
8,11%	0	158.923,39	8,11%

El proceso iterativo finaliza cuando la diferencia entre dos tasas consecutivas es suficientemente pequeña. Los resultados indican que el coste efectivo del préstamo es aproximadamente igual a 0,0811 - observe que cometemos un pequeño error de estimación -.

Si disponemos de una hoja de cálculo, podemos emplear la herramienta Búsqueda de objetivos, o también la función TIR. En este caso, debe ser prudente ante la posibilidad de que la operación sea un proyecto mixto y por tanto pueda existir una multiplicidad de raíces, es decir, varias TIR, que la hoja de cálculo podría no gestionar de la manera esperada. Las operaciones bancarias usuales, en particular los préstamos, suelen ser proyectos puros. También puede aproximar el coste despejando el valor de la renta unitaria y tratando de hallarla a continuación en una tabla financiera.

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¿Cuál sería la Tasa Anual Equivalente (TAE) publicada por el prestamista, supuesto que se tratase de una entidad financiera?

La Tasa Anual Equivalente es una interpretación del concepto financiero de coste efectivo, que se estima de conformidad con lo previsto en la normativa del Banco de España. Sin entrar en detalles jurídicos, basta con saber que en el cálculo de la TAE se incluyen solo las prestaciones bilaterales, es decir, los pagos que realiza el prestatario y que van destinados al prestamista; no se incluyen, por el contrario, aquellos que se realizan a terceros.

En este caso tendríamos:

• La prestación: entrega de 90.000€ al prestatario
• La contraprestación
  • Pago de los gastos iniciales que van dirigidos al banco (apertura, estudio, etc.): 900€ (no se incluyen los que perciben terceros, como el corredor de comercio)
  • Pago de tres anualidades iguales de 34.294,65€

Observe que no incluiríamos el pago de 900€ al corredor de comercio, porque no es una prestación bilateral. La TAE se obtiene estimando la tasa r que verifica la siguiente equivalencia financiera:

Este enlace le conduce a un simulador de la TAE desarrollado por el Banco de España.

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¿Qué ocurre si cancelamos anticipadamente el préstamo al cabo de dos años (justamente tras pagar la segunda anualidad)?

Tras abonar la segunda mensualidad, queda pendiente una tercera de 34.294,65€ que se pagaría justamente dentro de un año; para cancelar anticipadamente tendríamos que pagar el valor actual (en t = 2) de esa tercera cuota, que serían 34.294,65 / 1,07 = 32.051,07€. Además, se devengan las comisiones pactadas contractualmente, en este caso la de cancelación anticipada. Los pagos son los siguientes:

	0	1	2	3
Cobros	90.000,00	0	0	0
Pagos	1.800,00	34.294,65	67.948,27	0
Apertura	900
Corretaje	900
Cancelación			1.602,55
Cuotas		34.294,65	66.345,72	0
Flujo neto	88.200,00	-34.294,65	-67.948,28	0

El coste efectivo es ahora r = 0,0934. Puede obtenerlo fácilmente resolviendo la siguiente expresión (que, previa transformación, puede tratarse como una ecuación de segundo grado):

88.200 = 34.294,65 · (1+r)^-1 + 67.948,28 · (1+r)^-2 → r = 0,0934

El coste efectivo aumenta debido a i) impacto de la comisión de cancelación anticipada; y ii) el cambio en la estructura temporal de la operación (que pasa a ser a dos años: los gastos y comisiones se redistribuyen en un período inferior al previsto inicialmente).

Los préstamos cupón cero no son frecuentes en la actividad empresarial, ni tampoco en la financiación minorista a familias; sin embargo tienen cierta relevancia en la actividad internacional, y específicamente en el trabajo con empréstitos e instrumentos derivados.

Un préstamo cupón cero se cancela al vencimiento, con un solo pago comprensivo del capital más los intereses acumulados - observe que "cupón cero" no significa que el interés sea cero, sino que no hay pagos periódicos de cupones -.

¿Cuáles serían los pagos y cobros, y el coste efectivo de la financiación?

En una operación como esta solo hay dos pagos: una prestación inicial, y una contraprestación final. La cuantía que amortiza el préstamo se obtiene fácilmente como C_n = C₀ · (1+i)ⁿ. En este caso,

C₃ = 90.000 · 1,07³ = 110.253,87€

El coste efectivo se obtiene resolviendo la equivalencia financiera entre las cantidades realmente cobradas y pagadas. En este caso el prestatario abona 110.253,87€ pero percibe solo 90.000 - 1.800 = 88.200€:

88.200 = 110.253,87 · (1 + r)^-3 → r = 0,072.

¿Cuál sería el coste, si la deuda se amortiza con un solo pago al vencimiento pero los intereses se pagan anualmente?

En este caso, cada año se pagan los intereses (una cantidad constante i · C₀, ya que el saldo vivo del préstamo es siempre el mismo); al vencimiento se paga también el nominal (C₀).

El cuadro de amortización del préstamo es el siguiente:

Período	Saldo inicial	Intereses	Amortización	Cuota	Saldo final
1	90000	6300	0	6300	90000
2	90000	6300	0	6300	90000
3	90000	6300	90000	96300	0

Cada año se pagan 0,07 · 90.000 = 6.300€ de intereses - esta cantidad no varía porque el nominal de la deuda es siempre el mismo: el préstamo se amortiza con el pago de la última anualidad, al término del tercer año -.

Para calcular el coste efectivo debemos tener en cuenta, además, todos los restantes pagos efectuados por el prestatario - en particular comisiones, gastos y similares -:

	0	1	2	3
Cobros	90.000,00
Pagos	1.800,00	6.300,00	6.300,00	96.300,00
Apertura	900
Corretaje	900
Cuota am.				90.000,00
Cuota int.		6.300,00	6.300,00	6.300,00
Flujo neto	88.200,00	-6.300,00	-6.300,00	-96.300,00

Como en los casos anteriores, el coste efectivo resulta de resolver la equivalencia financiera entre los 88.200€ recibidos y los tres pagos efectuados para amortizar la deuda. Puede comprobar que r = 0,077

A continuación se muestra un cuadro con los flujos de caja asociados a cierto préstamo.

	0	1	2	3
Cobros	20.000,00
Pagos	200	8.666,67	8.000,00	7.333,33
Apertura	200
Corretaje	0
Amortización		6.666,67	6.666,67	6.666,67
Intereses		2.000,00	1.333,33	666,67

Razone cuáles son el nominal del préstamo, el tipo de interés aplicado, y el vencimiento de la operación

El importe nominal del préstamo puede deducirse a partir del cobro reflejado en el cuadro (20.000€) o, también, a partir de las cuotas de amortización: 6.666,67 · 3 = 20.000€.

El tipo de interés es la tasa j nominal que verifica, por ejemplo para el año 1: 2.000 = j · 20.000 → j = 0,1

El vencimiento de la operación son tres años.

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¿Qué método se emplea para amortizar este préstamo?

Cuota de amortización constante

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¿Qué comisiones se están aplicando en la operación?

Se está aplicando una comisión de apertura de 200€, equivalente al 1% del nominal. Podrían existir otras - por ejemplo por amortización o cancelación anticipada, renegociación, mora, etc. -, que se devengarían solo en determinadas circunstancias, y que no figuran en el cuadro de flujos aportado.