Fraccionamiento: capitalización y descuento en períodos inferiores a un año

Considere una operación a un año que se valora a un tanto nominal anual j₁₂ aplicando la ley compuesta. Como de costumbre j expresa el tanto nominal de la operación y el subíndice el número anual de capitalizaciones: k = 2 de forma que hay doce capitalizaciones cada año, o si lo prefiere, el tanto anual j se capitaliza mensualmente. El interés aplicable a cada mes es la parte proporcional al nominal anual: i₁₂ = j₁₂ / 12

Al cabo de un mes el capital inicial (C₀) se ha convertido en C₁ = C₀ · (1 +  i₁₂) y al cabo de dos en C₂ = C₁ · (1 + i₁₂) = C₀ · (1+i₁₂)²; al final del año el montante acumulado es C₀ · (1+i₁₂)¹².

De forma general un capital C₀ capitalizado a un tanto j_k anual se convierte, al cabo de un año, en C_k = C₀ · (1+i_k)^k; si la operación tiene una duración total de n años el montante final es C₀ · (1+i_k)^n·k.

Cuando la operación se valora con la ley compuesta el fraccionamiento es relevante porque, como hemos visto, los intereses se calculan sobre el montante acumulado en el período inmediatamente anterior (y no sobre el capital inicial, como ocurre cuando la operación se valora con la Ley Simple); la capitalización fraccionada hace que el montante final de la operación sea superior al que se habría obtenido con capitalizaciones anuales.

Suponga que la operación antedicha se valora a j₁₂ = 0,15 y tiene una duración de dos años. Si el capital inicial es C₀ = 1.000€ el montante al cabo de un mes es C₁ = 1.000 · (1 + 0,15/12) = 1.012,50€; al final del primer año se han acumulado C₁₂ = 1.000 · (1 + 0,15/12)¹² = 1.160,75€. El montante final de la operación, a los dos años, es C₂₄ = 1.000 · (1 + 0,15/12)¹² = 1.347,35€.

La tabla inferior muestra los montantes mensuales.

El fácil comprobar que 1.000€ hoy no son equivalentes a 1.347,35€ dentro de dos años al 15% anual, sino al 16,07%. En efecto,

1.347,35 = 1.000 · (1+i)² → i = 0,1607

La tasa i = 0,1607 es el tanto efectivo anual; es la rentabilidad real que proporciona la operación, cuando un 15% anual se capitaliza mensualmente.

Una forma de calcular i es resolver la siguiente equivalencia: debe ser indiferente capitalizar dos años al efectivo i que capitalizar 24 meses al tanto fraccionado i₁₂ = 0,15/12

(1+i)² = (1+i₁₂)²⁴ → (1+i) = (1+i₁₂)¹² → i= (1+i₁₂)¹² - 1

i = (1 + 0,15/12)¹² - 1 = 0,1607

Cuando se emplea capitalización fraccionada hay tres tantos de interés diferentes.

• El interés nominal es el interés contractual acordado para la operación (j_k).
• El tanto fraccionado i_k es el resultado de dividir el nominal en tantas fracciones como períodos de capitalización se haya pactado. Por ejemplo con capitalización mensual k = 12 y el tanto fraccionado es i₁₂ = j₁₂ / 12)
• El efectivo (i) es el equivalente anual del fraccionado: i = (1 + i_k)^k - 1. Naturalmente, i ≠ j_k.