Casos de trabajo: ley continua

Un cliente desea invertir 5.000€ en un paquete de acciones de Acerinox dentro de aproximadamente un mes. Nos pide asesoramiento acerca de la manera más adecuada de realizar la operación.

Una forma de abordar el problema es simplemente esperar y comprar las acciones en Bolsa dentro de 30 días; sin embargo eso expone al inversor a un riesgo de precio de mercado: actualmente los títulos de Acerinox cotizan a 12,23€ pero dentro de un mes podrían hacerlo a un precio más elevado.

Otra posibilidad es pactar ahora la compra de las acciones, es decir: buscar a un agente que esté dispuesto a contratar ahora con nosotros la venta de esas acciones dentro de un mes, a un precio acordado también ahora.

Esta operación es un contrato a plazo o forward, y en caso de realizarse en un mercado organizado, se conoce también como un futuro.

El problema radica en establecer el precio de la operación: la cotización sigue un recorrido aleatorio y no hay ninguna forma de saber cuál será dentro de un mes. Precisamos por tanto un valor razonable que, en el caso de los futuros, se calcula empleando la ley continua.

La lógica radica en el comportamiento que presumimos para las cotizaciones: en condiciones normales (en ausencia de intervención o de restricciones que limiten la negociación), los precios cambian cada vez que se cierra una operación, y esto ocurre centenares o miles de veces; formalmente, cambian de manera continua. Cada vez que cambia el precio se genera un rendimiento; en otras palabras, los rendimientos se devengan de forma continua, de ahí que la operación se valore con esa ley.

El valor razonable del contrato es el resultado de capitalizar el precio actual durante un mes, de acuerdo con la ley continua:

C₃₀ = C₀ · e^r·T

donde T = 30/365 = 0,0082 y r = ln(1+i) es el tanto continuo anual equivalente a un tanto compuesto anual i. Los futuros, y en general los derivados, se valoran a la tasa sin riesgo, que a efecto de realizar estos cálculos asumiremos i = 0,005 de manera que r = ln (1 + 0,005) = 0,0049.

C₃₀ = C₀ · e^r·T = 12,23 · e^{0,0049 · 0,082} = 12,235€

No sabemos cuál será la cotización de las acciones dentro de un mes, pero el valor razonable a plazo es de 12,235€.

Supongamos que un inversor nos ofrece negociar un futuro a 45 días sobre acciones de Indra a 13,25€. Nos preguntamos en qué medida ese precio es o no razonable.

Como hemos visto C₄₅ = C₀ · e^r·T donde T = 45/365 = 0,1329 años. Podemos reformular esta relación planteando la cotización actual en función del precio a plazo, es decir, descontando C₄₅ (los cálculos se realizan a la tasa sin riesgo empleada más arriba):

C₀ = C₄₅ · e^-r·T = 13,25 · e^{-0,0049 · 0,1329} = 13,24€

de manera que el precio a plazo que nos ofrecen sería el correspondiente a una cotización actual de 13,24€. En el momento de escribir este documento las acciones de Indra cotizan a 13,19€, pero a lo largo de la mañana el precio ha oscilado entre un mínimo de 13,185€ y un máximo de 13,245€.